Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Он справедливо полагает, что если математические конструкции, им созданные, станут более изящными и более простыми (не теряя при этом богатства своих свойств), то их рано или поздно можно будет использовать с большей эффективностью в конкретных науках, найдя для них подходящее истолкование в терминах этих наук. Но сам математик лишь в редких случаях обращается к такому истолкованию, поскольку на современном уровне развития знания сложилось разумное разделение труда, и ученый, занимающийся теоретической математикой, обычно «освобожден» от проблем приложений. История науки свидетельствует, что хорошие математические конструкции рано или поздно находят приложения. Неэвклидова геометрия, например, была использована как модель искривленного пространства-времени, и это сыграло важную роль в создании общей теории относительности. Поразительно, насколько «окупаемыми» оказываются те или иные абстрактные математические работы, насколько точно попадают в цель математические стрелы, пущенные, вроде бы, наугад. Одна из важных причин такого положения состоит в том, что ныне никто не требует непосредственной, «конкретной», наглядной интерпретации математических теорий.

Но в те годы, когда жил Буль, дела обстояли еще по-старому. Считалось, что математическая теория должна отражать что-то, так сказать, прямым образом. Мало того. По традиции, идущей от создателей дифференциального и интегрального исчисления, требовалось, чтобы этим отражаемым был физический мир, точнее, мир явлений, изучаемых физикой. А система Буля относилась совсем к другому миру — к языково-мыслительным процессам.

С математической точки зрения достижение Буля представляло собой такую же крупную и революционную вещь, как и изобретения Лобачевского и Гамильтона. Он создал новый вид алгебры, и этим внес значительный вклад в ту переоценку места математики, о которой было сказано выше. Надо заметить, что сам Буль, как можно предполагать по некоторым данным, понимал глубокое значение своего исследования. Алгебра, построенная Булем, служила ему для описания операций над множествами и действий над высказываниями. Впоследствии выяснилось, что, следуя Булю, возможно создание аппарата, описывающего свойства важного класса релейных схем, изучаемых в автоматике. Поэтому восходящая к Булю алгебра не должна рассматриваться только как алгебра логики.

Система Буля, если смотреть на нее с современной точки зрения, есть просто некая абстрактная математическая система. Что это значит? Ответим на этот вопрос в духе принятого сейчас понимания: это значит, что ее можно задать, указав некоторый алфавит (перечень символов), правила образования выражений, объявляемых «правильно построенными», и методы отыскания среди правильно построенных выражений тех из них, которые признаются «истинными» (верными, доказанными), теорем системы. Что же касается вопроса о содержании правильно построенных выражений и теорем, то это — вопрос, относящийся уже не к самой системе, а к ее интерпретации (истолкованию), каковая может быть не единственной.

Станем на путь, обрисованный только что в самых общих чертах, и зададим некоторую формальную систему, идейно примыкающую к алгебре, которую создал Буль. В соответствии с современными представлениями мы будем смотреть на эту систему поначалу как на чисто формальный аппарат, не предполагающий у фигурирующих в нем объектов (знаковых конструкций) какого-либо «внешнего» содержания (использование формального аппарата для вывода «истинных» выражений похоже на игру со знаками, подчиненную определенным правилам). Затем мы дадим четыре интерпретации, в результате которых формально введенные объекты будут наделяться «внешним» по отношению к аппарату смыслом — для каждой интерпретации своим. Далее будет сформулировано понятие булевой алгебры и обнаружится, что в каждой из упомянутых интерпретаций содержится булева алгебра. Обращаем внимание на то, что все это изложение не преследует цели демонстрации реальной картины исторического становления математической логики. Наше изложение существенно осовременено уже потому, что, как мы покажем далее, в «математическом анализе логики» Буля булевой алгебры в собственном смысле этого слова не было, хотя он и стоит у истоков последней.

I. Алфавит. Вводятся в рассмотрение знаки пяти видов: пропозициональные переменные, константы, логические связки (знаки логических операций), знак отношения и скобки.