Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

Пятьдесят лет спустя Ньютон описал, как он начал изучать притяжение. Хотя его заявления нуждаются в большом количестве разъяснений, я чувствую, что не могу не процитировать их, потому что именно в этих заявлениях Ньютон своими собственными словами описывает то, что стало поворотным моментов в истории цивилизации. Согласно Ньютону, это произошло в 1666 г., когда:

«…Я начал размышлять о притяжении, простирающемся до орбиты Луны и дальше (обнаружив, как оценить силу, с которой шар вращается внутри сферы и оказывает давление на поверхность сферы). Из закона Кеплера, согласно которому периоды обращения планет вокруг Солнца находятся в пропорции 3:2 с расстоянием от центров их орбит, я вывел, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, должна аналогично соотноситься с квадратами расстояний от центра, вокруг которого они вращаются, с помощью этого сравнил Луну на ее орбите с силой притяжения на поверхности Земли и нашел, что они подходят очень хорошо. Все это [в том числе его работы по бесконечно малым числам и математическому анализу] было сделано за два “чумных” года, 1665 и 1666 гг. В те дни я был в расцвете моей эры изобретений и размышлял о математике и философии более чем когда-либо…» {256}

Как я уже сказал, эти высказывания требуют некоторых разъяснений.

Во-первых, слова, которые Ньютон взял в скобки: «обнаружив, как оценить силу, с которой шар вращается внутри сферы и оказывает давление на поверхность сферы», относятся к расчету центробежной силы, который к тому времени уже был проведен Гюйгенсом – примерно в 1659 г. (возможно, Ньютон об этом не знал). Для Гюйгенса и Ньютона (как и для нас) ускорение имело более широкое определение, чем просто число, выражающее изменение скорости за прошедшее время; это имеющее направление количество, показывающее как изменение скорости за прошедшее время в определенном направлении, так и модуль скорости. При движении по окружности ускорение присутствует даже при постоянной скорости – это центростремительное ускорение , которое складывается из постоянного поворота в сторону центра окружности. Гюйгенс и Ньютон пришли к заключению, что тело, движущееся с постоянной скоростью v по окружности радиусом r , обладает ускорением v² / r в сторону центра окружности, поэтому сила, необходимая для того, чтобы оно удерживалось на этой окружности и не улетало по прямой в окружающее пространство, должна быть пропорциональна v² / r (см. техническое замечание 32). Сопротивление центростремительному ускорению Гюйгенс назвал «центробежной силой», которую тело испытывает, когда его раскручивают на конце веревки по кругу. Для этого тела сопротивление обеспечивается центробежной силой, которая проявляется в натяжении веревки. Но планеты не привязаны веревками к Солнцу. Что же тогда противостоит центробежной силе, испытываемой планетами при практически круговом движении вокруг Солнца? Как мы увидим далее, ответ на этот вопрос привел Ньютона к открытию обратной пропорции квадратов в законе тяготения.

Далее, в словах «из закона Кеплера, согласно которому периоды обращения планет вокруг Солнца соотносятся в пропорции 3:2 с расстоянием до центра их орбит» Ньютон говорит о Третьем законе Кеплера (как мы его сегодня называем) – квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы средних радиусов их орбит, или, другими словами, о том, что периоды пропорциональны степени 3/2 («пропорция 3:2») средних радиусов орбит {257}. Период вращения тела со скоростью v по окружности радиусом r равен длине окружности 2 πr , деленной на скорость v, поэтому для круговых орбит Третий закон Кеплера гласит, что отношение r² / v² пропорционально r³ , следовательно, их обратное отношение v² / r² пропорционально 1/ r³ . Из этого следует, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, пропорциональная v² / r , должна быть пропорциональна 1/ r² . Это и есть закон обратной пропорции квадратов в законе тяготения.

Само по себе это можно рассматривать просто как способ переформулировать Третий закон Кеплера. В рассуждениях Ньютона о планетах ничто не указывало на связь между силой, удерживающей планеты на их орбитах, и общеизвестными явлениями, связанными с силой тяготения на поверхности Земли. Эта связь появляется после того, как Ньютон начинает рассуждать о Луне. Утверждение Ньютона о том, что он «сравнил Луну на ее орбите с силой притяжения на поверхности Земли и нашел, что они подходят очень хорошо», указывает на то, что он рассчитал центростремительное ускорение Луны и нашел, что оно меньше ускорения свободного падения тел вблизи поверхности Земли в том самом соотношении, которого можно ожидать, если оба эти ускорения обратно пропорциональны квадрату расстояния от центра Земли.