Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Теперь на минуту предположим, что раз Еизменяется си­нусоидально, то Рможно считать пропорциональной Е, как в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположе­нию и обсудим его.) Таким образом, пишем

P x =e 0 NaE x .

При этом Е х выпадает из уравнения (32.23), и мы находим

k 2 =w 2 /c 2 (1+Na). (32.24)

Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом k, задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравне­ниям поля. Использование же выражения (32.22) для показате­ля n дает

n 2= l+Na. (32.25)

Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для пока­зателя преломления газа (гл. 31, вып. 3). Там мы нашли урав­нение (31.19), которое тогда имело вид

Формула (32.25) после подстановки w из (32.6) дает

Что здесь нового? Во-первых, появился новый член igw, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилля­торах. Во-вторых, слева вместо n теперь стоит n 2 и, кроме того, отсутствует дополнительный множитель 1 / 2 . Но заметьте, что если значение N достаточно мало, так что n близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что n 2 равен единице плюс некое малое число, т. е. n 2=1+e. При этом условии мы можем написать, что n=Ц(1+e)»l+e/2, и оба выра­жения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш но­вый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.

Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Во-первых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поля­ризованное поле, действующее на каждый из атомов,— это поле Е х . Однако такое предположение неверно, поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с Е х . Анало­гичную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно, помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом, представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увеличивается по сравнению со средним полем Ена величину Р/3e 0. (Не за­будьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для изотропного материала, а также в случае куби­ческого кристалла.)

Те же рассуждения верны и для электрического поля в вол­не, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении

Именно это локальное поле следует использовать вместо Ев (32.8), т. е. это выражение должно быть переписано следую­щим образом:

Р=e 0Na Е лок. (32.29)

Подставляя теперь Е локиз формулы (32.28), находим

или

Иными словами, Рдля плотного материала все еще пропорцио­нальна Е(для синусоидального поля). Однако константа про­порциональности будет уже e 0/Na/[1-(Na/3)], а не e 0 Nallfa, как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):

Более удобно переписать это в виде

который алгебраически эквивалентен прежнему. Это и есть известная формула Клаузиуса — Моссотти.

В плотном материале возникает и другое усложнение. По­скольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимо­действуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцил­ляции изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций размазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень боль­шим. Таким образом, все w 0и g твердого вещества будут дру­гими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять а, по крайней мере приближенно, уравнением (32.7), так что