Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Перед Максвеллом и другими учеными того времени вставала проблема магнетиков (за них мы вскоре примемся). Они ничего не знали о циркулирующих токах, ответственных за атомный магнетизм и поэтому, в плотности тока утеряли еще одну часть. Вместо уравнения (32.16) они на самом деле писали

где Нотличается от e 0с 2 В, так как последнее учитывает эффекты атомных токов. (При этом j'представляет то, что осталось от то­ков.) Таким образом, у Максвелла было четыре полевых век­тора: Е, D, Ви Н, причем в Dи Нскрывалось то, на что он не обратил внимания,— процессы, происходящие внутри вещест­ва. Уравнения, написанные в таком виде, вы встретите во мно­гих местах.

Чтобы решить их, необходимо как-то связать Dи Нс дру­гими полями, поэтому зачастую писали

D =eE

и

В=mH.(32.18)

Однако эти связи верны лишь приближенно для некоторых ве­ществ, и то лишь когда поля не изменяются слишком быстро со временем. (Для синусоидально изменяющихся полей зачастую можно писать уравнения таким способом, считая при этом e и m комплексными функциями частоты, но для произволь­ных изменений поля со временем это неверно.) На какие только ухищрения не пускаются ученые, чтобы решить уравнения! А мне кажется, что правильнее всего оставить уравнения запи­санными через фундаментальные величины, как мы понимаем их теперь, т. е. как раз то, что мы и проделали.

§ 3. Волны в диэлектрике

Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электро­магнитные волны могут существовать в диэлектрическом ве­ществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах,

нет. Таким образом, мы возьмем r=-С· Ри j= д P/ д t . При этом уравнения Максвелла примут такой вид:

Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:

СX(СX E)=-( д / д t)СX B.

Используя затем векторное тождество

СX(СX E) = С(С· E)-С 2 Eи подставляя выражение для СX Bиз (32.19б), получаем

Используя уравнение (32.19а) для С· Е, находим

Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь полу­чили, что даламбертиан Еравен двум членам, содержащим по­ляризацию Р.

Однако Рзависит от Е, поэтому уравнение (32.20) все еще допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е. Рвсегда будет иметь то же направление, что и Е. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси z. Электрическое поле при этом будет изменяться как е i( w t - kz ). Предположим также, что волна поляризована в направлении оси х, т. е. что электрическое поле имеет только x-компоненту. Все это записывается следую­щим образом:

E x=E 0e i ( w t - kz ). (32.21)

Вы знаете, что любая функция от (z- vt) представляет вол­ну, бегущую со скоростью v. Показатель экспоненты в выраже­нии (32.21) можно переписать в виде

-ik[z-(w/k)t],

так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая ско­рость которой равна

v фаз=w/k.

В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления n определялся нами из формулы

v фаз=c/n.

С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид

Ex=E 0 e i w ( t - nz / c ) .

Таким образом, показатель n можно определить, если мы най­дем ту величину k, которая необходима, чтобы выражение (32.21) удовлетворяло соответствующим уравнениям поля, и затем воспользуемся соотношением

n=kc/w. (32.22)

В изотропном материале поляризация будет иметь только x-компоненту; кроме того, Рне изменяется с изменением коор­динаты х, поэтому С· P=0 и мы сразу же избавляемся от пер­вого члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем наш диэлектрик «линейным», поэтому Р х будет изме­няться как е i w t и d 2 P x /dt 2 = -w 2P x. Лапласиан же в уравне­нии (32.20) превращается просто в д 2 E x /dz 2 =-k2Е x , так что в результате получаем