Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Ну а теперь мы увидим, что эта задача с помощью дифференциальных уравнений решается совсем просто. Конечно, дифференциальные уравнения затуманивают физическую причину возникновения преломле­ния (как результата интерференции вновь излученных волн с первоначальными), но зато они упрощают теорию плотного материала. В этой главе сойдется вместе многое из того, что мы делали уже раньше. Практически мы уже получили все, что нам потребуется, так что по-настоящему новых идей в этой главе будет сравнительно немного. Поскольку вам может понадобиться освежить в памяти то, с чем мы здесь столкнемся, то в табл. 32.1 приводится список уравнений, которые я соби­раюсь использовать вместе со ссылкой на те места, где их можно найти. Во многих случаях из-за нехватки времени я не смогу снова останавливаться на физических аргументах, а сразу же буду браться за уравнения.

Таблица 32.1 · ЧТО БУДЕТ ИСПОЛЬЗОВАНО В ЭТОЙ ГЛАВЕ

Начну с напоминания о механизме преломления в газе. Мы предполагаем, что в единице объема газа находится N ча­стиц и каждая из них ведет себя как гармонический осциллятор. Мы пользуемся моделью атома или молекулы, к которой элект­рон привязан силой, пропорциональной его перемещению (как будто он удерживается пружинкой). Отметим, что такая модель атома с классической точки зрения незаконна, однако позднее будет показано, что правильная квантовомеханическая теория дает (в простейших случаях) эквивалентный результат. В наших прежних рассмотрениях мы не учитывали «тормозящей» силы в атомном осцилляторе, а сейчас это будет сделано. Такая сила соответствует сопротивлению при движении, т. е. она пропор­циональна скорости электрона. Уравнением движения при этом будет

F =q e E =m(x+gx+w 2 0 x), (32.1)

где х — перемещение, параллельное направлению поля Е. (Осциллятор предполагается изотропным, т. е. восстанавли­вающая сила одинакова во всех направлениях. Кроме того, на время мы ограничимся линейно поляризованной волной, так что поле Ене меняет своего направления.) Если действую­щее на атом электрическое поле изменяется со временем сину­соидально, то мы пишем.

E=E 0e i w t. (32.2)

С той же самой частотой будет осциллировать и перемещение, поэтому можно считать

х=х 0 е i w t .

Подставляя х=iwx и х=-w 2х, можно выразить х через Е:

А зная перемещение, можно вычислить ускорение х и найти от­ветственную за преломление излученную волну. Именно таким способом в гл. 31 (вып. 3) мы подсчитывали показатель пре­ломления.

Теперь же мы пойдем другим путем. Индуцированный дипольный момент атома р равен q e x, или в силу уравнения (32.3)

Так как рпропорционально Е, то мы пишем

р=e 0a(w) Е, (32,5) где a — атомная поляризуемость:

Подобный же ответ для движения электронов в атоме дает и квантовая механика, но с учетом следующих особен­ностей. У атомов есть несколько собственных частот, каждая из которых имеет свою диссипативную постоянную g. Кроме того, каждая гармоника имеет еще свою эффективную «силу», выражаемую в виде произведения поляризуемости при дан­ной частоте на постоянную связи f , которая, как ожидается, по порядку величины равна единице. Обозначая каждый из трех параметров w 0, g и f для каждой из гармоник через w ok, g kи f kи суммируя по всем гармоникам, мы вместо (32.6) получаем

Если число атомов в единице объема вещества равно N, то поляризация Рбудет просто Np=e 0 NaE, т. е. пропорцио­нальна Е:

Р=e 0Na(w) Е. (32.8)

Другими словами, когда на материал действует синусоидальное электрическое поле, оно индуцирует пропорциональный себе дипольный момент, причем константа пропорциональности а, как мы уже отмечали, зависит от частоты. При очень больших частотах a мала: реакция материала слабая. А вот при низких частотах реакция может быть очень сильной. Константа про­порциональности, кроме того, еще оказывается комплексной, т. е. поляризация не следует точно за всеми изменениями элект­рического поля, а в какой-то степени может быть сдвинута по фазе. Во всяком случае, электрическое поле вызывает в мате­риале поляризацию, пропорциональную его напряженности.