Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

Я расскажу вам еще об одной теории, чтобы показать, до каких вещей додумываются люди, когда они увлечены. Это несколько другая модификация законов электродинамики, ко­торую предложил Бопп.

Вы понимаете, что, решившись изменить уравнения электро­магнетизма, можно делать это в любом месте. Вы можете изме­нить закон сил, действующих на электрон, или можете изме­нить уравнения Максвелла (как это будет сделано в теории, которую я собираюсь описать) или еще что-нибудь. Одна из возможностей — изменить формулы, определяющие потенциал через заряды и токи. Возьмем формулу, которая выражает по­тенциалы в некоторой точке через плотности токов (или зарядов) в любой другой точке в ранний момент времени. С помощью четырехвекторных обозначений для

потенциалов мы можем за­писать ее в виде

(28.13)

Удивительно простая идея Боппа заключается в следующем. Может быть, все зло происходит от множителя 1/r под интегра­лом. Предположим с самого начала, что потенциал в одной точке зависит от плотности зарядов в любой точке как некоторая функция расстояния между точками, скажем как f(r 12). Тогда полный потенциал в точке 1 будет определяться интегралом по всему пространству от произведения j mна эту функцию

Вот и все. Никаких дифференциальных уравнений, ничего больше. Есть только еще одно условие. Мы должны потребо­вать, чтобы результат был релятивистски инвариантным. Так что в качестве «расстояния» мы должны взять инвариантное «расстояние» между двумя точками в пространстве-времени. Квадрат этого расстояния (с точностью до знака, который несуществен) равен

Так что для релятивистской инвариантности теории функция должна зависеть от s 12или, что то же самое, от s 2 12. Таким об­разом, в теории Боппа

(Интеграл, разумеется, должен браться по четырехмерному объему dt z dx z dy 2 dz 2 .)

Фиг. 28,4. Функция F(s 2), ис­пользуемая в нелокальной теории Боппа.

Теперь остается только выбрать подходящую функ­цию F. Относительно нее мы предполагаем только одно, что она повсюду мала, за исключением области аргу­мента вблизи нуля, т. е. что график F ведет себя подобно кривой, изображенной на фиг. 28.4. Это узкий пик в окрестности s 2=0, шириной которого грубо можно считать величину а 2. Если вычисляется потенциал в точке 1, то при­ближенно можно утверждать, что заметный вклад дают только те точки 2, для которых s 2 12= с 2(t 2-t 1 ) 2 -r 2 12отличается от нуля на ±a 2. Это можно выразить, сказав, что F важно только для

(28.16)

Если понадобится, можно проделать все математически более строго, но идея вам уже ясна.

Предположим теперь, что а очень мало по сравнению с размерами обычных объектов типа электромоторов, генераторов и тому подобное, поэтому для обычных задач г 12>>а. Тогда вы­ражение (28.16) говорит, что в интеграл (28.15) дают вклад только те токи, для которых t 1-t 2очень мало:

Но поскольку а 2/r 2 12<<1, то квадратный корень приближенно равен 1 ±а 2/2r 2 12, так что

В чем здесь суть? Полученный результат говорит, что для А m . в момент t 1 важны только те времена t 2, которые отличаются от него на запаздывание r 12/c с пренебрежимо малой поправкой, ибо r 1 2>>а. Другими словами, теория Боппа переходит в теорию Максвелла при удалении от зарядов в том смысле, что она при­водит к эффекту запаздывания.