Ричард Фейнман - 3. Излучение. Волны. Кванты

(32.3)

Фиг. 32.1. Площадь кольца на сфере, равная 2nr sin QrdQ.

Умножая поток [мощность на 1 м 2 , согласно формуле (32.2)] на площадь полоски, найдем энергию, излучаемую в интер­вале углов q и q+dq; далее нужно проинтегрировать по всем углам q от 0 до 180°:

(32.4)

Необходимо сделать несколько замечаний по поводу этого выражения. Прежде всего, поскольку а' есть вектор, то а' 2в формуле (32.5) означает а'·а', т. е. квадрат длины вектора. Во-вторых, в формулу (32.2) для потока входит ускорение, взятое с учетом запаздывания, т. е. ускорение в тот момент времени, когда была излучена энергия, проходящая сейчас через поверхность сферы. Может возникнуть мысль, что энергия действительно была излучена точно в указанный момент вре­мени. Но это не совсем правильно. Момент излучения нельзя определить точно. Можно вычислить результат только такого движения, например колебания и т. п., где ускорение в конце концов исчезает. Следовательно, мы можем найти только полный поток энергии за весь период колебаний, пропорциональный среднему за период квадрату ускорения. Поэтому а' 2в (32.5) должно означать среднее по времени от квадрата ускорения. Для такого движения, когда ускорение в начале и в конце обращается в нуль, полная излученная энергия равна интегралу по времени от выражения (32.5).

Посмотрим, что дает формула (32.5) для осциллирующей системы, для которой ускорение а' имеет вид w 2x 0е i w t. Сред­нее за период от квадрата ускорения равно (при возведении

в квадрат надо помнить, что на самом деле вместо экспоненты должна входить ее действительная часть — косинус, а среднее от cos 2wt дает l/ 2):

(32.6)

Эти формулы были получены сравнительно недавно — в начале XX века. Это замечательные формулы, они имели огромное историческое значение, и о них стоило бы почи­тать в старых книгах по физике. Правда, там использовалась другая система единиц, а не система СИ. Однако в конечных результатах, относящихся к электронам, эти осложнения можно исключить с помощью следующего правила соответствия: вели­чина q 2 e/4pe 0, где q е— заряд электрона (в кулонах), раньше записывалась как е 2. Легко убедиться, что в системе СИ значе­ние е численно равно 1,5188·10 -14, поскольку мы знаем, что

q e= 1,60206·10 -1 9и 1/4pe 0= 8,98748·10 9. В дальнейшем мы будем часто пользоваться удобным обозначением

(32.7)

Если это численное значение e подставить в старые формулы, то все остальные величины в них можно считать опре­деленными в системе СИ. Например, формула (32.5) прежде имела вид Р = 2/ 3е 2а 2/с 3. А потенциальная энергия прото­на и электрона на расстоянии r есть q2e /4pe 0r или е 2/r, где е =1,5188-10 - 14ед. СИ.

§ 3. Радиационное затухание

Заряд, закрепленный на пружине с собственной частотой w 0(или электрон в атоме), даже в абсолютно пустом простран­стве не сможет колебаться бесконечно долго, поскольку, колеб­лясь, он теряет энергию на излучение. Никаких сил сопротив­ления в обычном смысле этого слова, никакой вязкости здесь нет. Но колебания не будут происходить «вечно», вследствие излучения они будут медленно замирать. А насколько медленно? Определим для осциллятора величину Q, вызванную так назы­ваемым радиационным сопротивлением или радиационным зату­ханием. Для любой колеблющейся системы величина Q равна энергии системы в данный момент времени, деленной на потери энергии, отнесенные к 1 рад:

Если Q задано, то легко получить закон спадания энергии колебаний: dW/dt = (-w/Q)W, откуда следует W =W 0e - w t / Q; здесь W 0— начальная энергия (при t = 0).

Чтобы найти Q для излучающего осциллятора, вернемся к формуле (32.8) и подставим вместо dW/dt выражение (32.6).