Ричард Мюллер - Сейчас. Физика времени

Принцип неопределенности в физике – всего лишь следствие из того, что частицы обладают волновыми свойствами.

Фундаментальная математика волновых колебаний разработана достаточно давно, и в ней есть знаменитая теорема, согласно которой буквально любой импульс можно представить в виде суммы бесконечных, но при этом непрерывных гармонических колебаний (синусоидальных и косинусоидальных). Эта область математики носит название Фурье-анализа [280]и считается частью продвинутого интегрального исчисления. Студентов на занятиях часто просят представить «квадратную волну» (периодический сигнал, состоящий из последовательности одинаковых прямоугольных импульсов) в виде суммы синусов и косинусов.

В Фурье-анализе есть одна очень важная теорема. Суть ее такова: если волна состоит из одного короткого импульса, такого, что большая его часть располагается в небольшой области ∆ x (читается «дельта икс»), то для ее описания с помощью синусов и косинусов потребуется много различных длин волн. Длины волн в математике обычно описываются числом k . Это такое число, что k /2π – это число целых волн (полных циклов), которое укладывается в единицу длины. Физики называют k пространственной частотой, или волновым числом (связанное понятие – волновой вектор: вектор, модуль которого равен волновому числу, а направление перпендикулярно волновому фронту) . Волна, целиком заключенная в интервал ∆ x , должна содержать некоторый диапазон пространственных частот ∆ k. Тогда, по теореме Фурье, два этих интервала должны быть связаны следующим образом:

∆ x ∆ k ≥ 1/2.

Это уравнение не имеет никакого отношения к квантовому поведению; оно получено методами интегрального исчисления. Теорема появилась раньше трудов Гейзенберга; Жан Батист Фурье умер в 1830 году. Это всего лишь математика волн: водяных, звуковых, световых, сейсмических, колебаний натянутой веревки и рояльной струны, волн в плазме и в кристалле. И эта математика верна для любых волн.

В квантовой физике импульс волны равен постоянной Планка h , деленной на длину волны (формула де Бройля). Длина волны равна 2π/ k . Это означает, что мы можем записать импульс (традиционно обозначаемый буквой p ) как p = ( h /2π) k . Взяв разницу между двумя значениями p , получим ∆ p = ( h /2π)∆ k . Если умножить уравнение Фурье-анализа ∆ x ∆ k ≥ 1/2 на h /2π, получим:

( h /2π)∆ x ∆ k ≥ 1/2( h /2π).

Далее подставим ∆ p = ( h /2π)∆ k и получим:

∆ x ∆ p ≥ h /4π.

(Иногда можно увидеть запись ∆ x ∆ p ≥ ħ /2, где ħ = h /2π – приведенная постоянная Планка, порой называемая постоянной Дирака.)