Стивен Вайнберг - Пояснюючи світ

Навіть найвидатніші вчені припускаються помилок. Ми вже бачили, як Ґалілей помилявся щодо припливів та комет, а нижче побачимо, як Ньютон помилявся щодо дифракції. Попри всі його помилки, Декарт, на відміну від Бекона, усе-таки зробив істотний внесок до науки. Його доробок був опублікований як додаток до «Міркувань про метод» під трьома заголовками: «Геометрія», «Оптика» та «Метеорологія»4. На мій погляд, саме цей додаток, а не філософські роботи, відображають його позитивний внесок до науки.

Найбільшим внеском Декарта стало винайдення нового математичного методу, нині відомого як аналітична геометрія, у якій криві або поверхні представлені рівняннями, що задовольняють координати точок на кривій або поверхні. «Координатами» загалом можуть бути будь-які числа, що дають положення точки на кшталт довготи, широти та висоти, але їхній конкретний тип, відомий як декартові координати, – це відстані точки від центра вздовж взаємно перпендикулярних напрямків. Наприклад, в аналітичній геометрії коло з радіусом R – це крива, на якій координати x та y – це відстані, виміряні від центра кола вздовж будь-яких двох перпендикулярних напрямків, що перетинаються в центрі кола, які задовольняють рівняння x 2 + y 2 = R 2 (технічна примітка 18 наводить аналогічний опис еліпса). Таке дуже важливе використання літер алфавіту для відображення невідомих відстаней або інших чисел походить із робіт французького математика, царедворця та дешифрувальника XVI століття Франсуа Вієта, але Вієт усе ще писав рівняння словами. Сучасний формалізм алгебри та його застосування до аналітичної геометрії з’явилися завдяки Декарту.

За допомогою аналітичної геометрії можна знайти координати точки в місці перетину двох кривих або рівняння кривої при перетині двох поверхонь, розв’язавши кілька рівнянь, що описують криві або поверхні. Сьогодні більшість фізиків розв’язують геометричні проблеми саме методами аналітичної геометрії, а не класичними методами Евкліда.

У галузі фізики суттєвим внеском Декарта було вивчення світла. У своїй «Оптиці» Декарт насамперед відобразив співвідношення між кутами падіння й заломлення, коли світло переходить із середовища А до середовища B (наприклад, з повітря до води): якщо кут між променем, що падає, та перпендикуляром до поверхні, що розділяє середовища, дорівнює i , а кут між відбитим променем і цим перпендикуляром дорівнює r , то синус [53] i , поділений на синус r , дорівнює незалежній від кута сталій n :

синус i / синус r = n .

У загальному сенсі там, де середовищем А є повітря (тобто, порожнеча), n є сталою, яку називають показником заломлення середовища B . Наприклад, якщо А – це повітря, а B – вода, то n – показник заломлення води, що дорівнює приблизно 1,33. У будь-якому подібному випадку, де n більше за 1, кут заломлення r менший за кут падіння i , а промінь світла, що потрапляє до щільнішого середовища, викривляється в напрямку, перпендикулярному поверхні.

Декарт не знав, що таке співвідношення ще в 1621 році емпірично отримав голландець Віллеброрд Снелліус, а ще раніше – англієць Томас Герріот. Крім того, рисунок у рукописі X століття арабського фізика Ібн Сахля наводить на думку, що це співвідношення було відомо ще йому. Але Декарт став першим, хто його опублікував. Сьогодні це співвідношення зазвичай називають законом Снелліуса, за винятком Франції, де його авторство частіше приписують Декартові.

Як Декарт вивів закон заломлення, простежити складно почасти тому, що ні у своєму описі його доведення, ні у викладенні результатів Декарт не використовував тригонометричного поняття синуса кута. Натомість він писав суто в геометричних термінах, хоча, як ми вже бачили, ще майже сімома століттями раніше синус запозичив з Індії аль-Баттані, робота якого була добре відома в середньовічній Європі. Доведення Декарта ґрунтується на його аналогії з тим, що має відбуватися, коли тенісний м’ячик прориває тонку тканину: м’ячик втратив би частину своєї швидкості, але тканина може не мати впливу на складову швидкості м’ячика, спрямовану вздовж тканини. Це припущення веде (як показано в технічній примітці 27) до поданого вище результату: співвідношення синусів кутів, які тенісний м’ячик утворює з перпендикуляром до тканини до та після удару в тканину, дорівнює незалежній від кута сталій n . Хоча в описі Декарта побачити цей результат доволі складно, він мав його розуміти, бо з відповідним значенням n він отримує більш-менш правильні числові відповіді у своїй теорії райдуги, розглянутій нижче.