Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

(2.15)

Опять примем, что амплитуды не зависят от того, где в счетчике расположен элемент dS (он считается малым), и обозначим их просто а, b, с , .... Вероятность (2.15) обратится в

(2.16)

Прогоняя каждый элемент dS по всей поверхности Δ S счетчика, получаем, что Р n(разные) — вероятность одновременно зарегистрировать n разных частиц — равна

(2.17)

Это просто произведение вероятностей попаданий в счетчик каждой из частиц по отдельности. Все они действуют независимо — вероятность попасть для одной из них не зависит от того, сколько других туда попало.

Теперь предположим, что все эти частицы — идентичные бозе-частицы. Для каждой совокупности направлений 1, 2, 3, ... существует много неразличимых возможностей. Если бы, скажем, частиц было только три, появились бы следующие возможности:

Возникает шесть различных комбинаций. А если частиц n , то будет n ! разных, хотя и не отличимых друг от друга, комбинаций; их амплитуды положено складывать. Вероятность того, что n частиц будут зарегистрированы в n элементах поверхности, тогда будет равна

(2.18)

И снова мы предположим, что все направления столь близки друг к другу, что можно будет положить а 1= а 2= ... ... = а n = а и то же сделать с b, с , ...; вероятность (2.18) обратится в

(2.19)

Когда каждый элемент dS прогоняют по площади Δ S счетчика, то всякое мыслимое произведение элементов поверхности считается n ! раз; учтем это, разделив на n !, и получим

или

(2.20)

Сравнивая это с (2.17), видим, что вероятность совместного счета n бозе-частиц в n ! раз больше, чем получилось бы в предположении, что все частицы различимы. Все это можно подытожить так:

(2.21)

Итак, вероятность в случае бозе-частиц в n ! раз больше, чем вы получили бы, считая, что частицы действовали независимо. Мы лучше поймем, что это значит, если спросим: чему равна вероятность того, что бозе-частица перейдет в некоторое состояние, в котором уже находятся n других частиц ? Обозначим добавленную частицу буквой w . Если всего, включая w , имеется ( n +1) частиц, то (2.20) обращается в

(2.22)

Это можно записать так:

или

Этот результат можно истолковать следующим образом. Число | w | 2Δ S — это вероятность заполучить в счетчик частицу w , если никаких других частиц нет; Р n (бозе) — это шанс того, что там уже есть n других бозе-частиц. Значит, (2.23) говорит нам, что когда у нас уже есть n других идентичных друг другу бозе-частиц, то вероятность того, что еще одна частица придет в то же состояние, усиливается в ( n +1) раз. Вероятность получить еще один бозон там, где уже есть их n штук, в ( n +1) раз больше той, какая была бы, если бы там раньше ничего не было. Наличие других частиц увеличивает вероятность заполучить еще одну.

Повсюду в наших рассуждениях шла речь о процессе, похожем на рассеяние α-частиц. Но это необязательно; можно было бы говорить и о создании частиц, например об излучении света. При излучении света «создается» фотон. В этом случае уже не нужны на фиг. 2.4 входящие линии; можно просто считать, что есть n атомов а, b, с , ..., излучающих свет (фиг. 2.5).