Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Следующий шаг на пути к уравнениям движения — это введение величины, которая связана с изменением скорости движения. Естественно спросить: а как изменяется скорость движения? В предыдущих главах мы рассматривали случай, когда действующая сила приводила к изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за 10 сек скорость 90 км / час . Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словами, на сколько метров в секунду изменяется скорость за 1 сек . Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле v =9,8 t (см. табл. 8.4), а теперь хотим выяснить, насколько она изменяется за 1 сек . Эта величина называется ускорением.

Таким образом, ускорение определяется как быстрота изменения скорости. Всем сказанным ранее мы уже достаточно подготовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записывается в виде производной от расстояния. Если теперь продифференцировать формулу v =9,8 t , то получим ускорение падающего тела

(8.9)

(При дифференцировании этого выражения использовался результат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от Bt равна просто В (постоянной). Если же выбрать эту постоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от 9,8 t равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела постоянно возрастает на 9,8 м / сек за каждую секунду. Этот же результат можно получить и из табл. 8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным только потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорционально силе.

В качестве следующего примера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели дело при изучении скорости:

Для скорости v — ds / dt мы получили формулу

Так как ускорение — это производная скорости по времени, то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференцировать эту формулу. Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна сумме производных. Чтобы продифференцировать первый из этих членов, мы не будем проделывать всю длинную процедуру, которую делали раньше, а просто напомним, что такой квадратичный член встречался нам при дифференцировании функции 5 t 2, причем в результате коэффициент удваивался, а t 2превращалось в t . Вы можете сами убедиться в том, что то же самое произойдет и сейчас. Таким образом, производная от ЗAt 2будет равна 6 Аt . Перейдем теперь к дифференцированию второго слагаемого. По одному из правил табл. 8.3 производная от постоянной будет нулем, следовательно, этот член не даст в ускорение никакого вклада. Окончательный результат: a = dv / dt =6 At .

Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением g , то его скорость v в любой момент времени t будет равна

а расстояние, пройденное им к этому моменту времени,

Заметим еще, что поскольку скорость — это ds / dt, а ускорение — производная скорости по времени, то можно написать

(8.10)

Так что теперь мы знаем, как записывается вторая производная.

Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует из того, что a = dv / dt . Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения.