Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин ε и x было придумано специальное обозначение: ε обозначается как Δt, а х — как Δs. Величина Δt означает «небольшой добавок к t », причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок Δ ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sinθ не означает s·i·n·θ. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок Δ напоминает нам о его особом характере. Ну, а если Δ не множитель, то его нельзя сократить в отношении Δ s /Δ t . Это все равно, что в выражении sinθ/sin2θ сократить все буквы и получить 1/2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Δ s /Δ t при Δ t , стремящемся к нулю, т. е.

(8.5)

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. Δ s =vΔ t . Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала Δt, а это, вообще говоря, происходит, только когда Δ t достаточно мало. В таких случаях обычно пишут ds = vdt , где под dt подразумевают интервал времени Δ t при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Δt достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение Δs=vΔt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt , то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds= vdt точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид

Величина ds / dt называется «производной s по t » (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того, дифференцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds / dt , то они носят названия дифференциалов . Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5 t 2, или просто производную от 5 t 2. Она оказалась равной 10 t . Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение s = At 3+ Bt + C , которое может описывать движение точки. Буквы A, B, C , так же как и в обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t . Рассмотрим для этого момент t+Δt, причем к s прибавится некоторая добавка Δs, и найдем, как выражается Δs через Δt. Поскольку

а

то

Но нам нужна не сама величина Δ s , а отношение Δ s /Δ t . После деления на Δ t получим выражение

которое после устремления Δ t к нулю превратится в

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (Δ t ) 2или (Δ t ) 3или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем Δ t устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3.