Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Математически мы можем задать форму волны в виде функции sinkx, где k=ω/c, как и в уравнениях (49.3) и (49.4). Эта функция обращается в нуль при х =0, однако то же условие должно выполняться и на другом конце струны. Дело в том, что k уже не будет произвольным, как в случае полуограниченной струны. Оба конца могут быть закреплены при одном-единственном условии, что sinkL=0. Но чтобы синус был равен нулю, его угол должен быть кратен целому числу π, например 0, π, 2π и т. д. Поэтому уравнение

(49.5)

в зависимости от того целого числа, которое мы подставим в него, дает полный набор различных чисел k . При этом каждому числу k соответствует частота ω, которая по формуле (49.3) равна просто

(49.6)

Итак, мы нашли, что синусоидальные колебания струны могут происходить только с некоторыми определенными частотами . Это — наиболее важная характеристика волн в ограниченной области. Сколь бы сложна ни была система, всегда оказывается, что в ней могут быть чисто синусоидальные колебания, но частота их определяется свойствами данной системы и природой ее границ. В случае струны возможно множество различных частот, каждой из которых соответствует определенное собственное колебание — движение, синусоидально повторяющее самое себя.

На фиг. 49.2 показаны первые три собственные гармоники нашей струны.

Фиг. 49.2. Первые три гармоники колеблющейся струны.

Длина волны λ первой из них равна 2L. В этом легко убедиться, продолжив волну до точки x =2 L и получив полный цикл синусоидальной волны. Угловая частота ω равна в общем случае 2πc, деленному на длину волны λ, а поскольку сейчас у нас λ=2 L , то частота будет равна π с / L , что согласуется с формулой (49.6) при n=1. Обозначим эту частоту через ω 1Следующая собственная гармоника напоминает бантик из двух петель с узлом посредине. Ее длина просто равна L . Соответствующая величина k , а следовательно, и частота ω должны быть вдвое большими, т. е частота равна 2ω 1. Частота третьей собственной гармоники оказывается равной Зω 1и т. д. Таким образом, различные собственные гармоники кратны целому числу низшей частоты ω 1т. е. ω 1, 2ω 1, 3ω 1и т. д.

Вернемся теперь к общему движению струны. Оказывается, что любое возможное движение можно рассматривать как одновременное действие некоторого числа собственных колебаний. На самом деле для описания наиболее общего движения должно быть одновременно возбуждено бесконечное число собственных гармоник. Чтобы получить некоторое представление о том, что происходит при таком сложении, давайте посмотрим, что получится при одновременном колебании двух первых собственных гармоник. Пусть первая из них колеблется так, как это показано в ряде схематических чертежей фиг. 49.3, где изображены отклонения струны через равные промежутки времени на протяжении полуцикла низшей частоты.

Предположим теперь, что одновременно с первой собственной гармоникой работает и вторая. Последовательные положения струны при возбуждении этой собственной гармоники показаны тоже на фиг. 49.3 пунктирной линией. По отношению к первой гармонике они сдвинуты по фазе на 90°. Это означает, что в начальный момент никакого отклонения не было, но скорости двух половинок струны направлены в противоположные стороны. Вспомним теперь общий принцип линейных систем: если взять любые два решения, то сумма их тоже будет решением. Поэтому перемещения, полученные сложением двух решений, показанных на фиг. 49.3, будут третьим возможным решением.

Фиг. 49.3. Две гармоники, напоминающие при сложении бегущую волну.

На этом же рисунке показан и результат сложения, который начинает напоминать горб, пробегающий взад и вперед по струне от одного конца до другого, хотя с помощью только двух собственных гармоник нельзя построить достаточно хорошей картины такого движения; их нужно гораздо больше. Этот результат представляет на самом деле частный случай основного принципа линейных систем, который гласит: