Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

которое легко разрешить относительно λ:

(49.9)

Итак, мы определили длину волны через два целых числа, а по длине волны мы немедленно получаем частоту ω, ибо, как известно, частота равна 2πc, деленной на длину волны.

Этот результат настолько важен и интересен, что необходимо теперь получить его строго математически без использования аналогий с отражением. Давайте представим колебание в виде суперпозиции четырех волн, подобранных таким образом, чтобы все четыре линии x=0, х = а, y =0 и у = b были узловыми. Потребуем еще, чтобы все эти волны имели одинаковую частоту, т. е. чтобы результирующее движение представляло собственное колебание. Из главы об отражении света мы уже знаем, что функция exp(iωt)exp[- i ( k x x )+ i ( k y y )] описывает волну, идущую в направлении, указанном на фиг. 49.4. По-прежнему остается справедливым уравнение (49.6), т. е. k=ω/c, с той разницей, что теперь

(49.10)

Из рисунка ясно, что k x = kcos θ, а k y = k sinθ.

Таким образом, наше выражение для перемещения прямоугольной перепонки барабана (назовем это перемещение φ) запишется в виде

(49.11а)

Хотя выглядит это довольно неприглядно, сумма таких экспонент, в сущности, не так уж громоздка. Их можно свернуть в синусы, так что перемещение, как оказывается, приобретает вид

(49.11б)

Другими словами, получились знакомые синусоидальные колебания, форма которых тоже синусоидальна как в направлении оси х, так и в направлении оси у. Граничные условия при x =0 и y =0 удовлетворяются автоматически. Однако мы хотим, кроме того, чтобы φ обращалось в нуль при х = а и у = b . Для этого мы должны наложить два дополнительных условия, а именно k x a и k x b должны быть равны целому числу n (эти целые числа могут быть разными для k x a и k y b !). Но поскольку, как мы видели, k x = k cosθ и k y = k sinθ, то отсюда немедленно получаются уравнения (49.7) и (49.8), а из них следует окончательный результат (49.9).

Возьмем теперь для примера прямоугольник, ширина которого вдвое больше высоты. Если положить а =2 b и воспользоваться уравнениями (49.4) и (49.9), то можно вычислить частоты всех гармоник

(49.12)

В табл. 49.1 перечислено несколько простых гармоник и качественно показана их форма.

Таблица 49.1 ПРОСТЫЕ ГАРМОНИКИ И ИХ ФОРМА

Следует отметить наиболее важную особенность этого частного случая — частоты не кратны ни друг другу, ни какому-то другому числу. Представление о том, что собственные частоты гармонически связаны друг с другом, в общем случае неверно. Оно неверно ни для системы размерности, большей единицы, ни даже для одномерной системы, более сложной, чем однородная и равномерно натянутая струна. Простейшим примером может служить подвешенная цепочка, натяжение которой вверху меньше, чем внизу. Если возбудить в такой цепочке гармонические колебания, то возникнут собственные гармоники с различными частотами, однако частоты не будут просто кратными какому-то числу, да и сама форма гармоник больше не будет синусоидальной.

Еще причудливей оказываются гармоники более сложных систем. Человеческий рот, например, представляет собой полость, расположенную над голосовыми связками. Движением языка и губ можно создать либо трубу с открытым концом, либо трубу с закрытым концом, причем диаметры и формы этой трубы будут раз личными. В общем это страшно сложный резонатор, но тем не менее все же резонатор. При разговоре мы с помощью голосовых связок создаем какой-то тон. Тон этот довольно сложен, в него входит множество звуков, но благодаря различным резонансным частотам полость рта еще больше модифицирует его. Певец, например, может петь различные гласные: «а», «о», «у» и еще другие с той же самой высотой, но звучат они по-разному, ибо различные гармоники по-разному резонируют в этой полости. Огромную роль резонансных частот полости в образовании голосовых звуков можно продемонстрировать на очень простом опыте. Как известно, скорость звука обратно пропорциональна квадратному корню из плотности, поэтому для разных газов она различна. Если вместо воздуха мы используем гелий, плотность которого меньше, то скорость звука в нем окажется больше и все резонансные частоты полости будут больше. Следовательно, если бы мы могли перед тем, как начать говорить, наполнить наши легкие гелием, то, хотя голосовые связки по-прежнему колебались бы с той же частотой, характер нашего голоса резко изменился бы.