Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Вероятность того, что молекула испытает столкновение, пройдя расстояние dx , равна dx / l , как вероятность столкновения за короткий промежуток времени dt равна dt/τ. Призвав на помощь те же аргументы, что и раньше, читатель сможет показать, что вероятность того, что молекула пройдет по крайней мере расстояние х , прежде чем испытает следующее столкновение, равна е - x / l .

Среднее расстояние, которое молекула проходит между столкновениями (длина свободного пробега l ), зависит от количества молекул, ее окружающих, и от того, какого «размера» эти молекулы, т. е. от того, насколько уязвимую мишень представляют они собой. «Размеры» мишени при столкновениях обычно описывают при помощи «эффективного сечения столкновений»; эта же идея используется и в ядерной физике или в задачах о рассеянии света.

Рассмотрим движущуюся частицу, которая проходит расстояние dx внутри газа, содержащего n 0рассеивателей (молекул) в единичном объеме (фиг. 43.1).

Фиг. 43.1. Эффективное сечение столкновения.

На каждой площадке единичной площади, перпендикулярной к направлению движения выбранной нами частицы, имеется n 0 dx молекул. Если каждая может быть представлена эффективной площадью столкновения, или, как обычно говорят, «эффективным сечением столкновения» σ с , то полная площадь, покрываемая рассеивателями, равна σ c n 0 dx .

Под «эффективным сечением столкновения» понимается площадь, в которую должен попасть центр частицы, если она должна столкнуться с заданной молекулой. Если молекулы выглядят как маленькие шарики (классическая картина), то следует ожидать, что σ с =π( r 1+ r 2) 2, где r 1и r 2— радиусы двух сталкивающихся молекул. Вероятность того, что наша частица столкнется с какой-нибудь молекулой, равна отношению площади, покрываемой рассеивающими молекулами, к полной площади, принятой нами за единицу. Таким образом, вероятность столкновения на пути dx равна σ с n 0 dx :

(43.10)

Мы уже отметили раньше, что вероятность столкновения на пути dx может быть записана в терминах длины свободного пробега l как dx / l . Сравнивая это с (43.10), можно связать длину свободного пробега с эффективным сечением столкновения:

(43.11)

Это равенство легче запомнить, если записать его так:

(43.12)

Эта формула говорит, что если частица проходит путь l внутрь рассеивателя, в котором молекулы могут как раз покрыть всю площадь, то в среднем происходит одно столкновение. В цилиндре высотой l , поставленном на основание единичной площади, содержится n 0 l рассеивателей; если каждый из них занимает площадь σ с, то полная площадь, покрытая ими, равна n 0 l σ c , а это как раз единичая площадь. Конечно, молекулы не покрывают всей площади целиком, потому что часть молекул прячется за соседние молекулы. Поэтому некоторые молекулы пройдут между столкновениями большее, чем l , расстояние. Ведь это только в среднем молекулам между столкновениями дается ровно столько времени, чтобы они смогли пройти расстояние l . Измеряя длину свободного пробега l , можно определить эффективное сечение рассеяния σ c и сравнить этот результат с расчетами, основанными на детальной теории строения атомов. Но это уже совсем другая тема! А пока вернемся к проблеме неравновесных состояний.

Мы хотим описать поведение одной или нескольких молекул, которые чем-то отличаются от огромного большинства остальных молекул газа. Будем называть «большинство» молекул молекулами «фона», а отличающиеся от них молекулы получат название «особых» молекул, или (для краткости) S-молекул. Молекула может быть особой по целому ряду причин: она может быть, скажем, тяжелее молекул фона. Может она отличаться от них также химическим составом. А, может быть, особые молекулы несут электрический заряд — тогда это будет ион на фоне нейтральных молекул. Из-за необычности масс или зарядов на S-молекулы действуют силы, отличающиеся от сил между молекулами фона. Изучая поведение S-молекул, можно понять основные эффекты, которые вступают в игру во многих разнообразных явлениях. Перечислим некоторые из них: диффузия газов, электрический ток в батарее, осаждение, разделение при помощи центрифуги и т. д.