Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

(24.6)

Если осциллятор достаточно добротен и частота ω близка к ω 0, то |^ х | — большая величина, запасенная энергия очень велика и можно накопить очень много энергии за счет небольшой силы. Сила производит большую работу, заставляя осциллятор раскачиваться, но после того, как установилось равновесие, вся сила уходит на борьбу с трением. Осциллятор располагает большой энергией, если трение очень мало, и потери энергии невелики даже при очень большом размахе колебаний. Добротность осциллятора можно измерять величиной запасенной энергии по сравнению с работой, совершенной силой за период колебания.

Что это за величина — накопленная энергия по сравнению с работой силы за цикл? Ее обозначили буквой Q . Величина Q — это умноженное на 2π отношение средней запасенной энергии к работе силы за один цикл (можно рассматривать работу не за цикл, а за радиан , тогда в определении Q исчезнет 2π)

(24.7)

Пока Q не слишком велика — это плохая характеристика системы, если же Q довольно большая величина, то можно сказать, что это мера добротности осциллятора. Многие пытались дать самое простое и полезное определение Q ; разные определения немногим отличаются друг от друга, но если Q очень велика, то все они согласуются друг с другом. При самом общем определении по формуле (24.7) Q зависит от ω. Если мы имеем дело с хорошим осциллятором вблизи резонансной частоты, то (24.7) можно упростить, положив ω=ω 0, тогда Q =ω 0/γ, такое определение Q было дано в предыдущей главе. Что такое Q для электрической цепи? Чтобы найти эту величину, надо заменить m на L, m γ на R и mω 0 2на 1/С (см. табл. 23.1). Тогда Q в точке резонанса равна Lω/ R , где ω — резонансная частота. В цепи с большой Q запасенная цепью энергия велика по сравнению с работой за один цикл, производимой поддерживающей колебания в цепи машиной.

Вернемся к основной теме — переходным решениям. Переходными решениями называются решения дифференциального уравнения, соответствующие ситуации, когда внешняя сила не действует, но система тем не менее не находится в покое. (Конечно, лучше всего решать задачу, когда сила не действует, а система покоится, покоится — ну и пусть покоится!) Соответствующие переходным решениям колебания можно вызвать так: заставить силу поработать, а потом выключить ее. Что тогда случится с осциллятором? Сначала подумаем, как будет вести себя система с очень большой Q . Если сила действовала долго, то запасенная энергия была постоянной и работа тратилась лишь для того, чтобы поддержать ее. Предположим теперь, что мы выключили силу, тогда трению, которое раньше поглощало энергию поставщика, питаться больше нечем — кормильца-то нет . И трение начинает пожирать запасенную осциллятором энергию. Пусть добротность системы Q/2π=1000. Это значит, что работа, произведенная за цикл, равна 1/1000 запасенной энергии. Пожалуй, разумно предположить, что при не поддерживаемых внешней силой колебаниях за каждый цикл будет теряться одна тысячная часть имеющейся к началу цикла энергии. Будем считать, что при больших Q изменение энергии описывается угаданным нами приближенным уравнением (мы еще вернемся к этому уравнению и сделаем его совсем верным!)

(24.8)

Уравнение это приближенное, потому что оно справедливо только для больших Q . За каждый радиан система теряет 1/ Q часть запасенной энергии Е . Значит, за промежуток времени dt энергия уменьшится в ω dt / Q раз (частота появляется при переводе радианов в настоящие секунды). А какая это частота? Предположим, что система устроена очень жестко, поэтому даже при действии силы она сколько-нибудь заметно колеблется только со своей собственной частотой. Поэтому будем считать, что ω — это резонансная частота ω 0. Таким образом, из уравнения (24.8) следует, что запасенная энергия меняется следующим образом:

(24.9)