Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Действительная часть квадрата комплексного числа не равна квадрату действительной части, она содержит еще и мнимую часть первоначального числа. Таким образом, если мы захотим найти энергию и посмотреть на ее превращения, нам придется на время забыть о комплексных числах.

Итак, истинно физическая величина А — это действительная часть A 0exp[i(ωt+Δ)], т. е. A = A 0соs(ωt+Δ), а комплексное число ^ А — это A 0exp(iΔ). Квадрат этой физической величины равен A 0 2cos 2(ωt+Δ). Он изменяется от нуля до максимума, как это предписывается квадратом косинуса. Максимальное значение квадрата косинуса равно 1, минимальное равно 0, а его среднее значение — это 1/ 2.

Зачастую нас совсем не интересует энергия в каждый данный момент колебания; во многих случаях достаточно знать лишь среднюю величину A 2( среднее значение квадрата А в течение времени, много большего, чем период колебаний). При этих условиях можно усреднить квадрат косинуса и доказать теорему: если А представляется комплексным числом, то среднее значение А 2равно 1/ 2 A 0 2. Здесь А 0 2— это квадрат модуля комплексного числа А . (Квадрат модуля ^ A записывают по-разному: |^ A | 2или ^ A ^ A *— в виде произведения числа ^ A на комплексно сопряженное.) Эта теорема пригодится нам еще много раз.

Итак, речь идет об энергии осциллятора, на который действует внешняя сила. Движение такого осциллятора описывается уравнением

(24.1)

Мы, конечно, предполагаем, что F ( t ) пропорциональна cos ω t . Выясним теперь, много ли приходится этой силе работать. Работа, произведенная силой в 1 сек , т. е. мощность, равна произведению силы на скорость. [Мы знаем, что работа, совершаемая за время dt , равна Fdx , а мощность равна F ( dx / dt ).] Значит,

(24.2)

Как легко проверить простым дифференцированием, первые два члена можно переписать в виде ( d / dt )[ 1/ 2 m ( dx / dt ) 2+ 1/ 2 m ω 0 2 x 2]. Выражение в квадратных скобках — производная по времени суммы двух членов. Это понятно; ведь первый член суммы — кинетическая энергия движения, а второй — потенциальная энергия пружины. Назовем эту величину запасенной энергией , т. е. энергией, накопленной при колебаниях. Давайте усредним мощность по многим циклам, когда сила включена уже давно и осциллятор изрядно наколебался. Если пробег длится долго, запасенная энергия не изменяется; производная по времени дает эффект, в среднем равный нулю. Иными словами, если усреднить затраченную за долгое время мощность, то вся энергия поглотится из - за сопротивления, описываемого членом γ m ( dx / dt ) 2. Определенную часть энергии осциллятор, конечно, запасет, но если усреднять по многим циклам, то количество ее не будет меняться со временем. Таким образом, средняя мощность

равна

(24.3)

Применяя метод комплексных чисел и нашу теорему о том, что < А 2>= 1/ 2 A 0 2, легко найти эту среднюю мощность. Так как x =^ x exp( i ω t ), то dx / dt = i ω^ x exp( i ω t ). Следовательно, средняя мощность равна

(24.4)

Если перейти к электрическим цепям, то dx / dt надо заменить на ток I (I — это dq / dt , где q соответствует х ), а m γ — на сопротивление R . Значит, скорость потери энергии (мощности силы) в электрической цепи равна произведению сопротивления на средний квадрат силы тока

(24.5)

Энергия, естественно, переходит в тепло, выделяемое сопротивлением; это так называемые тепловые потери, или джоулево тепло.

Интересно разобраться также в том, много ли энергии может накопить осциллятор. Не путайте этого вопроса с вопросом о средней мощности, ибо хотя выделяемая силой мощность сначала действительно накапливается осциллятором, потом на его долю остается лишь то, что не поглотило трение. В каждый момент осциллятор обладает вполне определенной энергией, поэтому можно вычислить среднюю запасенную энергию . Мы уже вычислили среднее значение ( dx / dt ) 2, так что