Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Фиг. 21.1. Грузик, подвешенный на пружинке. Простой пример гармонического осциллятора.

Отклонения вверх от положения равновесия мы обозначим через х и предположим, что имеем дело с абсолютно упругой пружиной. В этом случае противодействующие растяжению силы прямо пропорциональны растяжению. Это означает, что сила равна - kx (знак минус напоминает нам, что сила противодействует смещениям). Таким образом, умноженное на массу ускорение должно быть равно - kx

(21.2)

Для простоты предположим, что вышло так (или мы нужным образом изменили систему единиц), что k / m =1. Нам предстоит решить уравнение

(21.3)

После этого мы вернемся к уравнению (21.2), в котором k и m содержатся явно.

Мы уже сталкивались с уравнением (21.3), когда только начинали изучать механику. Мы решили его численно [см. вып. 1, уравнение (9.12)], чтобы найти движение. Численным интегрированием мы нашли кривую (см. фиг. 9.4, вып. 1), которая показывает, что если частица m в начальный момент выведена из равновесия, но покоится, то она возвращается к положению равновесия. Мы не следили за частицей после того, как она достигла положения равновесия, но ясно, что она на этом не остановится, а будет колебаться ( осциллировать ). При численном интегрировании мы нашли время возврата в точку равновесия: t =1,570. Продолжительность полного цикла в четыре раза больше: t 0=6,28 « сек ». Все это мы нашли численным интегрированием, потому что лучше решать не умели. Но математики дали в наше распоряжение некую функцию, которая, если ее продифференцировать дважды, переходит в себя, умножившись на -1. (Можно, конечно, заняться прямым вычислением таких функций, но это много труднее, чем просто узнать ответ.)

Эта функция есть: x =cos t . Продифференцируем ее: dx / dt =-sin t , а d 2 x / dt 2=-cos t =- x . В начальный момент t=0, x=1, а начальная скорость равна нулю; это как раз те предположения, которые мы делали при численном интегрировании. Теперь, зная, что x =cos t , найдем точное значение времени, при котором z=0. Ответ : t =π/2, или 1,57108. Мы ошиблись раньше в последнем знаке, потому что численное интегрирование было приближенным, но ошибка очень мала!

Чтобы продвинуться дальше, вернемся к системе единиц, где время измеряется в настоящих секундах. Что будет решением в этом случае? Может быть, мы учтем постоянные k и m , умножив на соответствующий множитель cos t ? Попробуем. Пусть x = A cos t , тогда dx / dt =- A sin t и d 2 t / dt 2=- A cos t =- x . К нашему огорчению, мы не преуспели в решении уравнения (21.2), а снова вернулись к (21.3). Зато мы открыли важнейшее свойство линейных дифференциальных уравнений: если умножить решение уравнения на постоянную, то мы снова получим решение . Математически ясно — почему. Если х есть решение уравнения, то после умножения обеих частей уравнения на А производные тоже умножатся на A и поэтому Ах так же хорошо удовлетворит уравнению, как и х . Послушаем, что скажет по этому поводу физик. Если грузик растянет пружинку вдвое больше прежнего, то вдвое возрастет сила, вдвое возрастет ускорение, в два раза больше прежней будет приобретенная скорость и за то же самое время грузик пройдет вдвое большее расстояние. Но это вдвое большее расстояние — как раз то самое расстояние, которое надо пройти грузику до положения равновесия. Таким образом, чтобы достичь равновесия, требуется столько же времени и оно не зависит от начального смещения. Иначе говоря, если движение описывается линейным уравнением, то независимо от «силы» оно будет развиваться во времени одинаковым образом.

Ошибка пошла нам на пользу — мы узнали, что, умножив решение на постоянную, мы получим решение прежнего уравнения. После нескольких проб и ошибок можно прийти к мысли, что вместо манипуляций с х надо изменить шкалу времени . Иначе говоря, уравнение (21.2) должно иметь решение вида

(21.4)

(Здесь ω 0— вовсе не угловая скорость вращающегося тела, но нам не хватит всех алфавитов, если каждую величину обозначать особой буквой.) Мы снабдили здесь ω индексом 0, потому что нам предстоит встретить еще много всяких омег: запомним, что ω 0соответствует естественному движению осциллятора. Попытка использовать (21.4) в качестве решения более успешна, потому что dx / dt =-ω 0sinω 0t и d 2 x / dt 2=-ω 0 2ωcosω 0 t =-ω 0 2x. Наконец-то мы решили то уравнение, которое и хотели решить. Это уравнение совпадает с (21.2), если ω 0 2= k / m .