Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Если в качестве осей x, y и z выбрать главные оси тела и назвать соответствующие моменты инерции через A, B и C , то нетрудно подсчитать момент количества движения и кинетическую энергию вращения тела при любой угловой скорости ω(фиг. 20.7).

Фиг. 20.7. Угловая скорость и момент количества движения твердого тела (А>В>С),

Разлагая ωна компоненты ω x, ω y, и ω z по осям x, y и z и используя направленные вдоль этих осей единичные векторы i, j, k, можно записать момент количества движения в виде

(20.16)

причем кинетическая энергия будет равна

(20.17)

Обычно физику как науку делят на несколько разделов: механику, электричество и т. п., и мы «проходим» эти разделы один за другим. Сейчас, например, мы «проходим» в основном механику. Но то и дело происходят странные вещи: переходя к новым разделам физики и даже к другим наукам, мы сталкиваемся с уравнениями, почти не отличающимися от уже изученных нами ранее. Таким образом, многие явления имеют аналогию в совсем других областях науки. Простейший пример: распространение звуковых волн во многом похоже на распространение световых волн. Если мы достаточно подробно изучим акустику, то обнаружим потом, что «прошли» довольно большую часть оптики. Таким образом, изучение явлений в одной области физики может оказаться полезным при изучении других ее разделов. Хорошо с самого начала предвидеть такое возможное «расширение рамок раздела», иначе могут возникнуть недоумения, почему мы тратим столько времени и сил на изучение небольшой задачи механики.

Гармонический осциллятор, к изучению которого мы сейчас переходим, будет встречаться нам почти всюду; хотя мы начнем с чисто механических примеров грузика на пружинке, малых отклонений маятника или каких-то других механических устройств, на самом деле мы будем изучать некое дифференциальное уравнение . Это уравнение непрестанно встречается в физике и в других науках и фактически описывает столь многие явления, что, право же, стоит того, чтобы изучить его получше. Такое уравнение описывает колебания грузика на пружинке, колебания заряда, текущего взад и вперед по электрической цепи, колебания камертона, порождающие звуковые волны, аналогичные колебания электронов в атоме, порождающие световые волны. Добавьте сюда уравнения, описывающие действия регуляторов, например поддерживающих заданную температуру термостата, сложные взаимодействия в химических реакциях и (уже совсем неожиданно) уравнения, относящиеся к росту колонии бактерий, которых одновременно и кормят и травят ядом, или к размножению лис, питающихся кроликами, которые в свою очередь едят траву, и т. д. Мы привели очень неполный список явлений, которые описываются почти теми же уравнениями, что и механический осциллятор. Эти уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами . Это уравнения, состоящие из суммы нескольких членов, каждый из которых представляет собой производную зависимой величины по независимой, умноженную на постоянный коэффициент. Таким образом,

(21.1)

называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами (все а n — постоянные).

Пожалуй, простейшей механической системой, движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является масса на пружинке. После того как к пружинке подвесят грузик, она немного растянется, чтобы уравновесить силу тяжести. Проследим теперь за вертикальными отклонениями массы от положения равновесия (фиг. 21.1).