Ричард Фейнман - Фейнмановские лекции по физике. Современная наука о природе [litres]

Эта функция вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятности.

Существует еще одна интересная задача, при решении которой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «случайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х = 0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х ), либо назад (до точки – х ), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно , ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе – так называемое броуновское движение – или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты.

Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров случайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением D nза N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании.

Фиг. 6.5. Три примера случайного блуждания. По горизонтали отложено число шагов N, по вертикали – координата D(N), т. е. чистое расстояние от начальной точки.

(При построении их в качестве случайной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, приведенные на фиг. 6.1.)

Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожидать , что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятностью можем блуждать где-то всё дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние , т. е. каково среднее значение | D |? Впрочем, удобнее иметь дело не с | D |, а с D 2; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блужданий.

Можно показать, что ожидаемая величина D 2 N равна просто N – числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величиной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов блуждания. Эта величина обозначается как < D 2 N > и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного шага D 2всегда равно +1, поэтому, несомненно, < D 2 1> = 1. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины).

Ожидаемая величина D 2 N для N > 1 может быть получена из D N − 1. Если после ( N − 1) шагов мы оказались на расстоянии D N − 1, то еще один шаг даст либо D N= D N − 1+ 1, либо D N= D N − 1− 1. Или для квадратов

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью 1/ 2, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая величина D 2 N будет просто D 2 N − 1+ 1. Но какова величина D 2 N − 1, вернее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» < D 2 N − 1>, так что

Если теперь вспомнить, что < D 2 1> = 1, то получается очень простой результат:

Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из D < 2 N > и получить так называемое среднее квадратичное расстояние D СК :