Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Высшая ценность математики как языка науки. Математическая форма и красота

Язык алгебры правдив, точен и даже плодотворен, но не обречен ли он навечно оставаться скучной, неинтересной прозой, никогда не способной подняться до высот поэзии? Большинство математиков отвергают это, считая математику прекрасной. Нужно научиться извлекать наслаждение из ее формы и элегантности, как и в случае поэзии. В качестве примера покажем, как можно придать красоту системе двух уравнений. Начнем с системы

2 x+ 3 y= 9

4 x— 2 y= 10

С помощью простых уловок можно избавиться от у и найти х = 3, а после этого y = 1. Но это слишком частный пример. Давайте обобщим его, заменив коэффициенты 2, 3, 9 и т. д. буквами а, Ь, c и т, д. Таким образом,

a x+ b y= c, d x+ e y= f

Потрудившись немного, находим x= ( еc— fb)/( ae— db). Затем, чтобы определить у , требуются новые ухищрения. Но это дает нам возможность решить, как прежнее, так и все подобные ему уравнения простой подстановкой числовых коэффициентов а, b, с и т. д. Если нам не нужно решать множество таких уравнений, вряд ли на это стоило бы тратить время и до поэзии здесь далеко как до неба. Но давайте рассуждать более систематично. Давайте считать х и у однородными вещами и отметим это сходство, переименовав их x 1и х 2. Чтобы еще больше подчеркнуть это сходство, будем писать а 1, a 2, а 0вместо a, b, c и соответственно a 1 x 1+ а 2 x 2= a 0. Кроме этого, у нас есть коэффициенты второго уравнения. Можно обозначить их а ' 1и т. д. Но и в этом случае оба уравнения не будут вполне симметричными. Поэтому обозначим первый набор коэффициентов а ' 1т, д., а второй а '' 1и т. д. Тогда

a' 1 x 1+ а' 2 x 2= a' 0

a'' 1 x 1+ а'' 2 x 2= a'' 0

Эта запись выглядит изящной, но много ли в таком изяществе толку? Разрешим уравнение относительно х 1. Получим

x 1= (a' 0a'' 2— a'' 0a' 2)/(a' 1a'' 2— a'' 1a' 2)

а вот и толк: нам не нужно разрешать уравнение относительно x 2или y . Симметрия сразу дает нам ответ. Заметьте, что х 1и х 2(старые х и у ) и; их коэффициенты отличаются только индексами 1 и 2. Если мы всюду заменим индексы 1 на 2, получится то же самое уравнение, а следовательно, и те же решения. Произведя эту замену в решении

x 1= (a' 0a'' 2— a'' 0a' 2)/(a' 1a'' 2— a'' 1a' 2)

мы получим

x 2= (a' 0a'' 1— a'' 0a' 1)/(a' 2a'' 1— a'' 2a' 1)

Итак, мы без труда получили результат для х 2(старого у ). Экономия как будто небольшая, но представьте себе, как увеличилась бы сложность, если бы мы имели дело, скажем, с пятью уравнениями и пятью неизвестными. В такой симметричной записи системы мы просто решаем относительно одного неизвестного, а остальные четыре решения пишем исходя из соображений симметрии. Такая запись проста , экономична и красива с точки зрения математики. Более того, новая запись уравнений и ответов обща и универсальна. В некотором смысле — она ковариантна. Такая симметричная запись созвучна идеям Максвелла и Эйнштейна.

Это лишь небольшой шаг на пути поиска поэзии математического языка — всего лишь подходящий размер стиха. Следующим шагом должны быть не симметричная запись , а симметричные методы , например «детерминанты». Когда профессиональный математик разрабатывает обоснования доказательства своих методов, он создает логические построения и пишет выражения, которые для него столь же великолепны, как и лучшие из стихов.

Геометрия и наука: истина и общая теория относительности

Таким образом, математика далеко выходит за рамки рабочей арифметики и некоего «автомата». Для более полного расцвета и развития она даже избавляется от скучных определений и некоторых ограничений логики, но тем не менее вся математическая схема основана на собственных исходных положениях; сердца ее исследователей пленяют числа, точки, параллельные линии, векторы …. Чистая математика — это наука в башне из слоновой кости. Результаты, полученные только с помощью правил логики, будут автоматически верны в той мере, в коей верны первоначальные предположения и определения. Удовлетворяет ли реальный мир этим предположениям — на первый взгляд это вопрос эксперимента. Разумеется, нам не следует доверять предположениям только потому, что они кажутся разумными и очевидными. Однако они могут больше напоминать определения тех действий, в случае которых математика в рамках этих определений может их языком описывать мир.