Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

p∙ V= 1/ 3( mv 1 2+ mv 2 2+… + mv N 2) =

= 1/ 3[ m∙( v 1 2+ v 2 2+… + v N 2)] = 1/ 3 m∙( N∙Среднее v 2)

Следовательно, v 2в нашем выражении должно быть средним v ¯ 2. Именно поэтому мы ставим над ней черточку, обозначающую среднее значение. Так что теоретическая формула приобретает вид

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = 1/ 3 m∙( N∙ v ¯ 2)

Мы знаем, что если поместить газ в сосуд, то его давление с течением времени не будет прыгать вверх и вниз; давление и объем остаются постоянными. Следовательно, несмотря на все происходящие при столкновениях изменения, средняя скорость молекул v ¯ 2остается постоянной. Таким образом, теория уже помогла нам навести порядок в молекулярном хаосе — получить постоянную v ¯ 2.

Более элегантный вывод

Введение множителя 1/ 3 для большинства выглядит как искусственный трюк. Вот более элегантный метод, в котором скорости молекул складываются с помощью простейших правил статистики. Предположим, что молекула 1 движется в сосуде со скоростью v 1под углом к стенке (фиг. 7).

Фиг. 7. Другое рассмотрение движения молекул газа.

Каждая скорость v разложена на три составляющие xv, yv и zv, параллельные граням сосуда. Затем по xv 2вычисляется давление и мы приходим к тому же результату.

Разложим вектор v 1на три компоненты по осям х, у и z , параллельным стенкам. Тогда v 1будет результирующей компонент скоростей x v 1вдоль оси х , y v 1вдоль оси у, a z v 1, вдоль оси z . Поскольку оси взаимно перпендикулярны, то по теореме Пифагора

v 1 2= x v 1 2+ y v 1 2+ z v 1 2

для молекулы 2

v 2 2= x v 2 2+ y v 2 2+ z v 2 2

для молекулы 3

v 3 2= x v 3 2+ y v 3 2+ z v 3 2

…

и т. д.

v N 2= x v N 2+ y v N 2+ z v N 2

Сложим все эти равенства:

( v 1 2+ v 2 2+ v 3 2+… + v N 2) =

= ( x v 1 2+ x v 2 2+ x v 3 2+… + x v N 2) +

+ ( y v 1 2+ y v 2 2+ y v 3 2+… + y v N 2) +

+ ( z v 1 2+ z v 2 2+ z v 3 2+… + z v N 2)

Фиг. 8. Составляющие скорости.

По теореме Пифагора v 1 2= x v 1 2+ y v 1 2+ z v 1 2

Разделив на число молекул N , получим среднее значение:

v ¯2= x v ¯2+ y v ¯2+ z v ¯2

Призовем теперь на помощь соображения симметрии и потребуем (игнорируя малые отклонения за счет гравитации), чтобы все три средних в правой части уравнения были равными; случайное движение большого числа молекул должно давать одно и то же распределение скоростей в любом направлении:

x v ¯2 = y v ¯2 = z v ¯2

т. е.

v ¯2= 3∙ z v ¯2

Чтобы получить давление на стенку сосуда, мы будем дальше рассуждать по аналогии с задачей 2 , используя x v — составляющую скорости молекул вдоль сосуда. (Именно эта составляющая скорости и нужна нам, ибо y v и z v влияют только на движение от одной боковой стенки к другой и не участвуют в передаче импульса нашим стенкам.) Поэтому вклад молекулы 1 в произведение ( давление )∙( объем ) будет m∙ x v 1 ¯2, а вклад всех N молекул будет

m∙( x v 1 2+ x v 2 2+ … + x v N 2), или m∙ N∙ x v ¯2

Но он равен m ∙ N ∙( v ¯ 2/3), так что

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = 1/ 3 N∙ m∙ v ¯2

Предсказания кинетической теории газов

Рассмотрение молекулярных столкновений и законы Ньютона привели нас к выводу, что

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = 1/ 3 N∙ m∙ v ¯2

Он напоминает закон Бойля. Множитель 1/ 3постоянен; N — число молекул — тоже постоянно (если они не улетают и не распадаются); m — масса молекул — постоянна. Поэтому если средняя скорость остается постоянной, то постоянно и 1/ 3 N ∙ m ∙ v ¯ 2, а следовательно, постоянно и p ∙ V , как обнаружил Бойль. Но остается ли неизменной скорость молекул? Сейчас мы не можем гарантировать это.

Но давайте на минуту забежим вперед и предположим , что молекулярное движение связано с тепловым состоянием газа и что при постоянной температуре средняя скорость молекул газа постоянна , как бы мы его ни сжимали [128]. Объяснение этого факта вы получите позднее, а сейчас примите его на веру. Сделав это, найдем: