Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

VI. Множество молекул в сосуде

1) Предположим теперь, что сосуд содержит 6∙10 26молекул (600 000 000 000 000 000 000 000 000). Это приблизительно соответствует реальному числу молекул в таком сосуде, если наполнить его воздухом при атмосферном давлении [125]. В действительности же они хаотически движутся во всех направлениях, но для упрощения вычислений примем, что они рассортированы на три независимые группы, причем одна группа летает вверх — вниз, другая направо и налево, а третья — взад и вперед. Из соображения симметрии молекулы должны быть поровну распределены между тремя группами (фиг. 5). Давление на переднюю стенку сосуда обусловливается только ударами молекул, движущихся взад и вперед. Продолжим вычисление давления, учитывая только треть всех молекул в сосуде, т. е. 2∙10 26, или 200 000 000 000 000 000 000 000 000 молекул, которые движутся со скоростью 500 м/сек вдоль 4-метрового сосуда, ударяются о его переднюю стенку, отскакивают со скоростью 500 м/сек, ударяются о заднюю стенку, отскакивают и так далее.

Используя результат части IV задачи, мы можем показать, что среднее давление на стенку сосуда будет равно ___.___ (единиц)

(Эти данные описывают поведение воздуха в комнате. Какую величину атмосферного давления в тех же самых единицах показывает барометр?)

Каково отношение вычисленного выше давления к атмосферному, измеренному в лаборатории?

2) Предположим, что передняя и задняя стенки сосуда сблизились так, что длина сосуда сократилась до 2 м (т. е. до половины первоначальной длины) без изменения числа молекул, их скорости и площади этих стенок.

Среднее давление на переднюю стенку равно ___.___ (единиц)

( Примечание . Арифметика в п. 2 почти та же, что и в п. 1. Решите и получите новый ответ.)

а) Вычислите давление р .

б) Вычислите произведение (давления)х(объем), умножив р на abc .

в) Повторите все решения с помощью алгебры. Возьмите сосуд длиной a , шириной b и высотой с , содержащий N молекул, движущихся со скоростью v м/сек.

Фиг. 5. К задаче 1.

Вместо случайных направлений движения, как изображено здесь ( а), потребуем, чтобы были три группы ( б) по 2∙10 26молекул, движущихся параллельно граням сосуда. Теперь предположим, что давление на переднюю стенку создается ударами одной группы молекул (2∙10 26), движущихся взад и вперед ( в).

Задача 2. Кинетическая теория газов (алгебра)

(Рассмотрим поведение молекул в сосуде на основе алгебры. К задаче следует приступать после того, как сделана и проверена задача 1 .)

Предположим, что в сосуде заключено N молекул ( N молекул во всем сосуде, а не в каждом кубическом метре). Пусть длина сосуда равна а м, а размер передней и задней стенок Ь x с м 2. В процессе хаотического движения со множеством соударений молекулы обмениваются импульсами и скорость их не остается постоянной. Однако мы полагаем, что если температура поддерживается постоянной, то их скорость близки к некой средней скорости, которую мы обозначим через v м/сек. Чтобы вычислить давление на стенку сосуда, мы должны учитывать только удары об эту стенку. Таким образом, для упрощения задачи мы считаем, что N молекул подразделяются на три равные группы, одна из которых движется вверх и вниз, другая влево и вправо, а третья — взад и вперед.

При вычислении давления на переднюю стенку мы учитываем только последнюю группу. Из соображения симметрии все N молекул должны разделиться между этими тремя группами поровну. Приняв эти предположения, ответьте на следующие вопросы, считая, что масса одной молекулы равна m кг.

1) При лобовом ударе молекулы о переднюю стенку и отражении изменение импульса равно ___.

2) Между двумя последовательными ударами о переднюю стенку молекула летит к задней стенке и возвращается, проходя полное расстояние ___ м.

3) За время t сек молекула, летящая со скоростью v м/сек, проходит расстояние ___ м.

4) Таким образом, в течение t сек молекула ___ раз возвратится назад и столько же рае ударится о переднюю стенку.

5) За время t сек молекула ___ раз ударится о переднюю стенку, передавал при каждом ударе импульс ___.

6) Таким образом, полное изменение импульса передней стенки из-за ударов одной молекулы за время t сек равно ___.

7) Но в сосуде находится N молекул, из которых ___ движутся взад и вперед. Полное изменение импульса передней стенки из-за ударов всех молекул в течение t сек равно ___.