Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Пусть теперь случилось так, что мы знаем, в какой области проволоки на самом деле находится частица. Ее волновая функция выглядела бы похожей на изображенную на рис. 7.7 с резким пиком там, где частица скорее всего находится. Если мы хотим узнать импульс частицы, нам следовало бы определить длину волны этой волновой функции. Но функция с резким пиком не имеет определенной длины волны, поскольку она не является протяженной волной, так же как импульс звука — хлопок — не имеет определенной длины волны. Что же это говорит нам об импульсе частицы?

Рис. 7.7.Волновой пакет, образованный суперпозицией тридцати волновых функций, подобных изображенным на предыдущей иллюстрации, но с различными длинами волн. Хотя частица с большой вероятностью будет обнаружена в довольно четко определенной области пространства, мы ничего не можем сказать о том, какое из тридцати значений импульса будет преобладать. В дальнейшем обсуждении мы увидим, что этот волновой пакет движется подобно классической частице.

Мы можем представить волновую функцию с пиком, изображенную на иллюстрации, как результат сложения — технически выражаясь, суперпозиции — множества волн с различными длинами, каждая из которых соответствует определенному импульсу. В ситуации, изображенной на рисунке, эти волны, складываясь там, где их гребни совпадают, образуют пик реальной волновой функции и гасят друг друга там, где их гребни совпадают со впадинами. Такая суперпозиция волновых функций называется волновым пакетом . Когда мы хотим узнать величину импульса частицы с волновой функцией, подобной изображенной на рисунке, мы вынуждены сказать, что она может быть любой из величин, представленных длинами тех волн, которые использовались при формировании волнового пакета. То есть наша частично локализованная частица имеет неопределенность импульса, в точности как того требует принцип неопределенности.

Если мы точно знаем, где находилась частица в некоторый момент времени, ее волновая функция должна была тогда представлять собой очень заостренный шип, с нулевой амплитудой всюду, кроме места, где находилась частица. Такой шип тоже является волновым пакетом, но чтобы получить бесконечную заостренность его положения, мы должны составить суперпозицию бесконечного числа волн с различными длинами, а значит, и импульсами. Принцип неопределенности является квантовой версией потери ориентации: вы либо знаете, где вы, но не знаете, куда вы идете, либо знаете, куда вы идете, но не знаете, где вы.

Концепция волнового пакета помогает нам навести мосты между квантовой механикой и привычной комфортабельностью классической механики, поскольку он несет некоторые черты классических частиц. Чтобы увидеть эту связь, давайте представим себе шарик на проволоке, которая не горизонтальна, а наклонена вниз слева направо. В классическом случае мы ожидаем, что шарик будет скользить по проволоке, двигаясь быстрее и быстрее. А что говорит квантовая механика?

Сначала нам нужно построить волновую функцию шарика и, проделав это, мы сможем узнать, что говорит нам уравнение Шредингера о ее кривизне. Поскольку энергия шарика постоянна (энергия сохраняется, глава 3). а его потенциальная энергия убывает слева направо, его кинетическая энергия возрастает слева направо вдоль проволоки. Возрастание кинетической энергии соответствует возрастанию кривизны. Мы можем ожидать, что волна будет иметь длину, укорачивающуюся слева направо. Такая волновая функция для частицы с абсолютно точно определенной полной энергией будет похожа на изображенную на рис. 7.8.

Рис. 7.8.Общая форма волновой функции для шарика-бусинки на проволоке, удерживаемой под углом к горизонтали, имеющего поэтому спадающую вправо потенциальную энергию. Заметьте, что длина волны становится все короче, по мере того как мы продвигаемся все дальше направо, что в классическом подходе соответствует возрастанию кинетической энергии частицы при скольжении вниз по проволоке.

Далее нам следует узнать кое-что о том, как волновая функция меняется во времени. Необходимо теперь иметь в виду нечто новое, а именно то, что волновая функция осциллирует с частотой, пропорциональной полной энергии частицы. Мы можем представить себе волновую функцию медленно движущейся (обладающей низкой энергией) частицы как медленно осциллирующую, а волновую функцию быстро движущейся (обладающей большой энергией) частицы как осциллирующую быстро (рис. 7.9). Волновая функция на рис. 7.9 ведет себя точно таким же образом и осциллирует со скоростью, определяемой ее энергией.