Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

положение × импульс − импульс × положение = ħ .

Классические физики молчаливо предполагали, что правая часть этого коммутационного соотношения равна нулю, и на этом основании построили чудесное здание классической физики. Теперь мы знаем, что правая часть не равна нулю, но столь мала, что заблуждение классических физиков не удивительно. Тот факт, что правая часть не равна нулю, имеет глубокие следствия и является той малостью, которая сокрушила классическую физику.

Гейзенберг, при сотрудничестве своих коллег, — Макса Борна (1882-1970) и Паскуаля Иордана (1902-80), нашел как включить в квантовую механику ненулевую правую часть выражения для положения и импульса. Шредингер тем временем нашел другой путь. Вспомните, что де Бройль предположил, что существуют волны вещества как-то «ассоциированные» с частицами и что, принимая во внимание интерференцию, выживающая волна распространяется по пути наименьшего действия. Довольно легко найти правила, по которым волна ощупью пробирается через пространство, чтобы найти путь выживания. Эти правила и являются содержанием уравнения Шредингера . [32]Прославленное уравнение показывает, как волна вещества меняется от точки к точке, и оказывается, что, для того чтобы сформулировать его, необходимо использовать в точности то же самое выражение для положения и импульса, которое Гейзенберг должен был использовать, чтобы пробить брешь в классической физике. Центральная роль этого соотношения в обеих формулировках является основной причиной, по которой подходы Гейзенберга и Шредингера математически эквивалентны.

Когда мы решаем уравнение Шредингера, мы получаем математические выражения для формы волн вещества. Термин «волна вещества» больше не используется, как и его интерпретация, принадлежащая де Бройлю. Современным названием для «волны вещества» является волновая функция (термин, с которым мы впервые столкнулись в главе 5), и далее мы будем пользоваться им.

Волновые функции не являются просто математическими формулами, не имеющими смысла: мы можем проследить, как современная интерпретация их физического смысла восходит к предположению, сделанному Борном. Борн заметил, что в классических (волновых) терминах интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды (меры отличия от нуля) электромагнитной волны, в то время как в квантовых (фотонных) терминах эта интенсивность пропорциональна вероятности обнаружения фотона в данной области пространства. Если амплитуда световой волны удваивается, его интенсивность учетверяется (луч становится в четыре раза ярче), и мы с учетверенной вероятностью обнаружим фотон в этой области пространства. Затем он предположил, что естественно распространить это соотношение на волновые функции и интерпретировать квадрат волновой функции частицы в некоторой точке, как дающий вероятность обнаружения в ней этой частицы . Так, если волновая функция в одном месте имеет вдвое большую амплитуду, чем в другом, то шансов обнаружить частицу в первом положении в четыре раза больше, чем в последнем. Мы можем заключить, что там, где квадрат волновой функции велик, имеется высокая вероятность обнаружения частицы, а там, где он мал, вероятность обнаружения частицы низка (рис. 7.4). Такая интерпретация, как можно видеть, означает, что области, где волновая функция является отрицательной величиной, — соответствующие впадине волны на воде — имеют тот же смысл, что и области, где она положительна, поскольку мы пользуемся квадратом волновой функции, и отрицательные области тоже становятся положительными.

Рис. 7.4.Интерпретация волновой функции, данная Борном. Сплошная линия является произвольной волновой функцией: заметьте, что она проходит через ноль в нескольких точках (они называются узловыми точками) и имеет области положительной и отрицательной амплитуды. Возведя волновую функцию в квадрат, мы получаем линию из точек, которая всюду неотрицательна, но равна нулю там, где равна нулю волновая функция. В соответствии с интерпретацией Борна эта кривая говорит нам о вероятности обнаружения частицы в каждой точке пространства. Мы изображаем эту интерпретацию с помощью плотности тени в наложенной горизонтальной полосе.

Волновая функция может оказаться концепцией, несколько более трудной для понимания, несмотря на интерпретацию Борна. В ряде следующих параграфов я попытаюсь дать вам представление о том, на что это похоже. Я также покажу вам, как можно решать уравнение Шредингера в уме, даже не видя его и не имея ни малейшего представления о том, что значит решать уравнение в частных производных второго порядка.