Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

С более общей точки зрения уравнение Шредингера является уравнением для кривизны волновой функции: оно сообщает нам, где волновая функция изгибается более резко, а где более плавно. Ее кривизна является наибольшей там, где кинетическая энергия частицы велика, и наименьшей там, где кинетическая энергия частицы мала. Например, волновая функция для груза на конце маятника выглядела бы довольно похожей на функцию, показанную на рис. 7.5: груз быстрее всего движется в средней точке своего качания и медленнее всего на концах, в точках возврата, где он меняет направление движения, и мы теперь видим, что волновая функция искривляется более резко около средней точки области ее существования. Отметим также, что волновая функция имеет наибольшую амплитуду вблизи точек возврата: это соответствует знакомому поведению маятника, поскольку наиболее вероятно обнаружить его там, где он движется наиболее медленно, а это происходит в конечных точках его качания, где он меняет направление движения.

Рис. 7.5.Типичная волновая функция (слева). Это волновая функция маятника, который качается с малой начальной энергией. Квадрат волновой функции (показанный справа) говорит о вероятности того, что качающийся маятник будет обнаружен в данном положении. Мы иллюстрируем эту интерпретацию с помощью плотности тени в наложенной горизонтальной полосе.

Теперь давайте посмотрим, на что похожи другие волновые функции. Волновая функция свободной частицы очень проста. Предположим, что частица, о которой мы говорим, является шариком-бусинкой, способным скользить по длинной горизонтальной проволоке. Потенциальная энергия шарика является одной и той же, безотносительно к его позиции, поэтому мы можем подозревать, что волновая функция не будет благоволить каким-либо особым областям. Медленная частица имеет низкую кинетическую энергию, поэтому ее волновая функция имеет лишь небольшую кривизну (рис. 7.6); другими словами, волновая функция медленно двигающейся частицы является однородной волной с большой длиной волны, в точности, как говорит нам соотношение де Бройля. Быстрая частица — с большой кинетической энергией — имеет волновую функцию с большой кривизной, так что она извивается вверх и вниз много раз на коротком интервале, и поэтому является однородной волной с очень короткой длиной волны. Обе эти волны просто являются тем, что предсказывает соотношение де Бройля.

Рис. 7.6.Диаграмма слева показывает две волновых функции для шарика-бусинки, движущегося по длинной горизонтальной проволоке с остановками на каждом ее конце. Одна функция соответствует маленькому импульсу, а другая большому. Диаграмма справа показывает для каждой точки проволоки вероятность обнаружения шарика, движущегося быстрее.

Где скорее всего мы найдем частицу? Давайте представим себе шарик, носящийся взад и вперед по длинной проволоке, поворачивая обратно на каждом ее конце, и рассмотрим его движение как случайное. Из-за того, что шарик движется с постоянной скоростью, в соответствии с классической физикой шансы найти его в любой точке проволоки равны. Квантовая механика дает иное предсказание. Чтобы предсказать, где будет обнаружен шарик, мы воспользуемся предложением Борна: вычислим квадрат волновой функции в каждой позиции и интерпретируем результат как вероятность обнаружить частицу в этой позиции. Как можно видеть из иллюстрации, частица с наибольшей вероятностью будет обнаруживаться в серии одинаковых областей, регулярно расположенных на проволоке, а не будет распределена совершенно однородно.

Теперь давайте посмотрим, как волновая функция свободной частицы соответствует принципу неопределенности, согласно которому, если мы знаем импульс, мы не можем знать положения, и наоборот. Волновая функция, подобная изображенной на рис. 7.6, распространяется по всей длине проволоки, поэтому мы не можем предсказать, где находится частица: она может быть в любом месте проволоки. С другой стороны, импульс мы знаем точно, поскольку знаем точно длину волны. Итак, мы знаем точный импульс, но ничего не можем сказать о положении, именно так, как этого требует принцип неопределенности. На самом деле длина волны дает нам только величину импульса: мы не знаем, движется ли частица направо или налево. Но из-за того, что частица не размазана по проволоке совершенно однородно, мы не остаемся в полном неведении о том, где она находится, и, таким образом, некоторое незнание относительно ее импульса (его направления) открывает возможность некоторого знания о том, где она находится (особенно, где она не находится). Вероятно, вы начинаете улавливать тонкость связи между знаниями о том, где вещи находятся и как быстро они движутся.