Леонид Пономарев - По ту сторону кванта

Но в квантовой механике мы не можем выбрать точки х 1и х 2как угодно близко, и все время должны помнить, что летящая частица — это не точка, а некоторый волновой процесс, и нельзя представлять ее меньшей, чем половина длины волны этого процесса. Поэтому погрешность δх определения каждой из координат х 1и х 2всегда будет больше или, в крайнем случае, равна λ/2.

По той же причине расстояние Δx = x 2— x 1между двумя последовательными измерениями нет смысла брать меньшим λ/2. Наиболее точное значение скорости v получается при значении Δх = λ/2, тогда оно будет равно v = Δx/Δt = λ/2Δt. Понятно, что даже это значение содержит неустранимую погрешность δv, которая зависит от точности δх определения координат х 1и х 2и равна

δv = (δх)/(Δt) ≥ (λ)/(2Δt).

Сравнивая две последние формулы для v и Δv, приходим к неожиданному, но строгому результату: Δv > v. То есть погрешность определения импульса всегда больше или, по крайней мере, равна его наиболее точно измеренному значению: Δp ≥ p.

Абсолютная величина погрешности δр определяется длиной волны λ. В самом деле, формулу де Бройля λ = h/p можно обратить: р = h/λ. И поскольку δр ≥ р, то δр ≥ h/λ. Величина обеих погрешностей δx ≥ λ/2 и δp ≥ h/λ зависит от длины волны частицы λ. Чем медленнее движется частица, тем больше длина ее волны (λ = h/m v;) и тем меньше погрешность δр. Но как раз для такой частицы очень велика неопределенность координаты δх. Меняя скорость частицы, мы можем уменьшить либо δх, либо δр, но никогда не сможем уменьшить их произведение: δx δp ≥ 1/2h

Из нашего анализа следует еще один неожиданный вывод, который, впрочем, нам уже известен: у атомных объектов нет траектории, поскольку при вычислении скорости частицы v = dx/dt нельзя перейти к пределу Δx — > 0, Δt — > 0 и вычислить производную

v = (dx)/(dt) = lim (Δx/Δt), при Δx — > 0.

Это теоретические соображения. На опыте с этим обстоятельством впервые столкнулся Жан Перрен, изучая брауновское движение. Он писал по этому поводу:

«Зигзаги траектории так многочисленны и пробегаются с такой скоростью, что невозможно уследить за ними Средняя кажущаяся скорость частицы в течение определенного промежутка времени претерпевает громадные изменения по величине и направлению и не стремится вовсе ни к какому пределу при уменьшении этого промежутка. В этом легко убедиться, если отмечать положение зернышка на экране через каждую минуту затем через каждые 5 сек. и, наконец, фотографировать их через промежутки в 1/20 сек… Ни в одной точке траектории нельзя получить касательной определенного направления. Трудно в этом случае удержаться от мысли о функциях без производной, в которых напрасно видят лишь математический курьез. В действительности природа внушает представление о них наравне с идеей о функциях, имеющих производную».

Пятнадцать лет спустя догадку Перрена подтвердил создатель кибернетики Норберт Винер, построив теорию брауновского движения на основе «непрерывных функций без производных».

Конечно, брауновское движение — это еще не квантовая механика, но все же это хорошая иллюстрация некоторых ее особенностей.

Сам по себе принцип дополнительности, взятый вне физики, изобретение древнее. По существу, он довольно известная категория диалектической логики и в разных видах неоднократно высказывался различными философами во все времена. Аристотель говорил, например, что «гармония — это смешение и сочетание противоположностей», а триады Гегеля можно с успехом приспособить для анализа понятий квантовой механики.

В этой связи любопытно вспомнить, как принцип дополнительности переоткрыли для себя поэты. В 1901 году Валерий Брюсов написал статью под названием «Истины», в которой мы читаем буквально следующее:

«Каково бы ни было наше миросозерцание, есть основы, которые, безусловно, обязательны для мысли… Начиная мыслить, я должен… верить, что мне, вообще человеку, возможно мыслью постичь истину. Может быть, и вероятно, есть другие пути постижения мира: мечты, предчувствия, откровения, но если почему-либо я выбрал логическое мышление, я обязан ему довериться. Иначе всякое рассуждение станет ненужным…»

«Для мышления нужна множественность, независимо от того, будет ли она дроблением я или предстанет как что-то внешнее. Мысль, и общее — жизнь, возникает из сопоставления, по меньшей мере, двух начал. Единое начало есть небытие, единство истины есть безмыслие. Не было бы пространства, не будь правого и левого; не было бы нравственности, не будь добра и зла…»