Вадим Цудикман - Опционы - Разработка, оптимизация и тестирование торговых стратегий

Как было показано в предыдущем разделе, многокритериальная оптимизация имеет один существенный недостаток. В большинстве случаев одновременное использование множества целевых функций приводит к нахождению нескольких оптимальных решений. Хотя ни одно из них не является предпочтительным по отношению к другим, нам необходимо выбрать единственный вариант. Такой выбор можно сделать исходя из формы поверхности оптимальных областей, на которых находятся узлы найденных решений.

При выборе оптимального решения на основе многокритериального анализа принимаются в расчет только значения целевых функций каждого узла оптимизационного пространства. Целевые функции соседних узлов полностью игнорируются. Между тем рельеф оптимальной области является важным показателем надежности оптимизации. При прочих равных условиях предпочтителен такой узел оптимизационного пространства, который располагается в центре относительно гладкой высокой области (высота определяется значением целевой функции). Предпочтительно также, чтобы данная область имела широкие покатые склоны. Это означает, что узлы, окружающие узел оптимального решения, должны быть близкими к нему по значениям целевой функции.

В соответствии с данным ранее определением оптимальное решение, расположенное в пределах такой области, является робастным. Если же оптимальное решение располагается в области, характеризующейся большими перепадами высот, острыми пиками и глубокими впадинами, то оно является менее робастным и, соответственно, менее надежным.

Хотя применительно к процедуре оптимизации понятие робастности не имеет строгого математического определения, в общем виде можно утверждать, что оптимальное решение, расположенное на гладкой поверхности, является более робастным, чем решение, расположенное на изломанной поверхности. Если решение робастно, то небольшие изменения в значениях оптимизируемых параметров не приводят к большим изменениям целевой функции.

Для того чтобы выбор оптимального решения основывался не только на высотной отметке, но и учитывал робастность, необходимо количественно оценить рельеф окружающей области и меру его изломанности. В случае многомерного пространства эта задача очень сложна и требует привлечения методов топологии. Однако для двумерного пространства можно предложить несколько относительно простых в реализации решений.

Этот метод оценки робастности аналогичен построению скользящих средних. При построении скользящего среднего усреднение целевой функции (обычно это цена или объем торгов) производится по мере движения во времени, а само усреднение используется для описания временной динамики и определения ценовых или каких-либо других трендов. Для изучения рельефа оптимизационной поверхности и оценки робастности оптимального решения, усреднение целевой функции производится по мере движения в оптимизационном пространстве. В каждом узле пространства значение целевой функции заменяется средним значением целевой функции соседних узлов, окружающих данный узел. Таким образом оригинальное оптимизационное пространство трансформируется в новое пространство, которое используется для поиска оптимального решения. Поиск производится по высотным отметкам трансформированного пространства. Новая высотная отметка каждого узла теперь содержит информацию не только о значении целевой функции самого узла, но и о значениях целевой функции небольшой области, окружающей данный узел. Следовательно, в процессе оптимизации производится не только максимизация целевой функции, но учитывается также робастность потенциального оптимального решения.

Единственным параметром усреднения является диапазон усредняемых узлов. Это могут быть только соседние узлы (одна линия узлов, расположенных вокруг данного узла). В случае двумерной оптимизации, каждый узел соседствует с восемью другими узлами (за исключением узлов, расположенных на границах допустимых значений параметров). Поэтому при усреднении одного ряда узлов, среднее значение рассчитывается по девяти данным – восьми значениям соседних узлов плюс значение центрального узла. При усреднении двух рядов расчет проводится по 25 данным, для трех линий – по 49 и т. д. В общем виде количество усредняемых узлов n определяется следующим образом:

где m – число рядов узлов, окружающих вычисляемый узел.