Вадим Цудикман - Опционы - Разработка, оптимизация и тестирование торговых стратегий

Применение метода Парето позволяет решить задачу выбора в условиях, когда показатели различных критериев противоречат друг другу. Подобная ситуация, когда некоторые узлы оптимизационного пространства превосходят другие узлы по одной из целевых функций (например, по прибыли), но являются хуже их по другой функции (например, по максимальной просадке), возникает довольно часто. Основным недостатком метода Парето является то, что в результате оптимизации может быть получено множество оптимальных решений вместо одного. Это потребует дальнейшего анализа, и выбор придется делать на основе применения дополнительных методик. Такая же проблема свойственна и методу свертки, но в гораздо меньшей степени.

Формализация задачи многокритериальной оптимизации выглядит следующим образом. Пусть для каждого узла (альтернативы) a из оптимизационного пространства задан n -мерный вектор значений целевых функций (критериев) x ( a ) = ( x 1 ( a ), …, x n ( a )). Используя показатели n критериев, необходимо найти альтернативы с максимальными значениями координат векторов (то есть с максимальными показателями целевых функций). Будем считать, что чем больше значение критерия, тем лучше альтернатива. При сравнении двух альтернатив a и b альтернатива a доминирует над альтернативой b, если выполняется следующая совокупность неравенств: x i ( a ) ≥ x i ( b ), для всех значений i = 1, …, n , и существует хотя бы один критерий j , для которого выполняется строгое неравенство x j ( a ) > x j ( b ). Другими словами, узел a предпочтителен узлу b , если a не уступает b по значениям всех целевых функций и хотя бы по одной из них превосходит b .

Очевидно, что наличие доминирования однозначно определяет, какая из двух сравниваемых альтернатив лучше. Если же отношение доминирования установить невозможно, то вопрос о том, какая из них лучше, остается открытым. В этом случае говорят, что ни одна из альтернатив не обладает однозначным превосходством (не доминирует) над другой.

Используя приведенные рассуждения, задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать следующим образом: среди множества всех альтернатив найти такое подмножество, в которое входят только недоминируемые альтернативы, то есть те, для которых не существует доминирующих их альтернатив . Это подмножество и называется множеством Парето. Каждый элемент такого множества можно считать наилучшим в определенном выше смысле. При этом число альтернатив, составляющих это множество, может быть самым различным. Например, это может быть как одна, доминирующая над всеми остальными, альтернатива, так и несколько «лучших» альтернатив или даже все исходное множество.

В нашем примере оптимизации базовой дельта-нейтральной стратегии мы имеем оптимизационное пространство A = ( a 1 , …, a m ), состоящее из m узлов-альтернатив (в примере m = 3600), оцененных с помощью n функций-критериев ( n = 3) со значениями x ( a ) = ( x 1 ( a 1 ), …, x n ( a m )). Для построения множества Парето необходимо попарно сравнить все альтернативы, отбрасывая доминируемые, а недоминируемые добавляя в множество Парето. Очередной элемент ak сравнивается со всеми оставшимися. Если встречается элемент a l , над которым a k доминирует, то элемент a l отбрасывается. Если оказывается, что a k доминируем каким-либо элементом a m из оставшихся, то отбрасывается элемент a k . Если ни один из элементов не доминирует над a k , то последний включается во множество Парето. Далее переходим к сравнениям элемента, следующего за a k, со всеми оставшимися элементами. При этом максимальное количество требуемых сравнений составляет порядка 0,5 m ( m – 1), что вполне приемлемо для большинства случаев. Более быстрые алгоритмы требуются при построении множества Парето для большого числа критериев и альтернатив.

Как было сказано выше, недостатком метода Парето является невозможность повлиять на количество узлов, попадающих в оптимальное множество Парето. Число элементов множества может изменяться от случая к случаю и не зависит от наших пожеланий и предпочтений. Единственное оптимальное решение может быть получено только в том случае, когда оптимизационное пространство имеет узел, для которого показатели всех критериев превосходят соответствующие показатели для других узлов. В большинстве случаев вместо единственного оптимального решения получается множество.