Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> Limit((x-sin(х)) / (exp(2*х)-1-2*х-2*х^2),x=0) = limit((х-sin(x))/(exp(2*х)-1-2*х-2*х^2),х=0);

Как видно из этого примера, Maple «понимает» особенности функций при вычислении пределов.

Проверим возможности Maple при вычислении пяти замечательных пределов (файл limit5 — второй предел дан в двух вариантах):

> Limit(sin(х)/х,х=0)=limit(sin(х)/х,х=0);

> Limit((1+х)^(1/х),х=0)=limit((1+х)^(1/х),х=0);

> Limit((1+1/х)^х,x=infinity)=limit((1+1/х)^х,x=infinity);

> Limit(ln(1+x)/х,x=0)=limit(ln(1+х)/x,x=0);

> Limit((exp(х)-1)/х,х=0)=limit((exp(х)-1)/х,х=0);

> Limit(((1+х)^а-1)/х,х=0)=limit(((1+х)^а-1)/х,х=0);

Все пять замечательных пределов вычислены верно.

Рисунок 4.13 показывает вычисление пределов функции tan(x) в точке x=π/2, а также слева и справа от нее. Для указания направления используются опции right (справа) и left (слева). Видно, что в самой точке предел не определен (значение undefined), а пределы справа и слева уходят в бесконечность.

Рис. 4.13 Пример вычисления пределов функции tan(x) и построение ее графика

Показанный на рис. 4.13 график функции tan(x) наглядно подтверждает существование пределов справа и слева от точки x=π/2 и отсутствие его в самой этой точке, где функция испытывает разрыв от значения +∞ до -∞.

Для демонстрации методов пошагового вычисления пределов имеется Maplet-инструмент Step-by-step Limit Tutor. Для вызова его окна (рис. 4.14) нужно исполнить команду (в стандартном варианте интерфейса): Tools→Tutors→Calculus-Single Variables→Limit….

Рис. 4.14. Окно Maplet-демонстрации методов пошагового вычисления пределов

Нетрудно заметить, что это окно практически аналогично окну для демонстрации методов пошагового дифференцирования, описанному в разделе 4.3.4 (рис. 4.2). В связи с этим подробное описание средств и этого инструмента можно опустить. Отметим лишь, что он позволяет задавать функцию и значение x и по шагам (автоматически или вручную) вычислять пределы. По окончании работы с окном соответствующий предел и результат его вычисления появляется в окне документа — рис. 4.15.

Рис. 4.15. Пример вывода результата работы с Maplet-инструментом по методам вычисления пределов

Огромное разнообразие функций давно заставляло математиков задумываться над возможностями их приближенного, но единообразного представления. К таким представлениям относятся различные ряды, сходящиеся к значениям функций в окрестности заданной точки.

Очень часто желательно представление тех или иных функций f(х) в достаточно простом и единообразном виде. Эта задача решается методами аппроксимации, которые мы рассмотрим позже. Пока же зададимся более простой задачей — представления функций в виде степенного многочлена F(x) в окрестности заданной на оси абсцисс точки х=х0. Такое разложение было впервые получено Тейлором и получило название ряда Тейлора [68, 69]:

Если разложение выполняется относительно точки х=0, его принято называть рядом Маклорена :