Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Примеры задания таких матриц приведены ниже (файл vecmatrix):

> Hessian(ехр(х*y), [х,y]);

> Hessian(а/(х^2+y^2+z^2), [х, y, z]);

> Н := unapply(%, [a,x,y,z]):

> Н(1/2, 0.3, 0.7, 0.1);

> Jacobian([r*cos(t), r*sin(t)], [r,t]);

> Jacobian([r*cos(t), r*sin(t)], [r,t], 'determinant');

> Wronskian([exp(t),ln(t),sin(t)], t);

> Wronskian([t, t^2, t^3], t)

К основным функциям теории поля относятся:

Curl(F) — вычисляет вихрь векторного поля в R³;

Divergence(F) — вычисляет дивергенцию векторного поля;

Flux(f, dom) — вычисляет поток векторного поля в R³;

Gradient(f, с) — вычисляет градиент функции f в пространстве от R nдо R;

Del(f, с) и Nabla(f, с) — векторные дифференциальные операторы;

Laplacian(f, с) или Laplacian(F) — вычисляет лапласиан функции f или векторного определения (процедуры) F;

ScalarPotential(v) — вычисляет скалярный потенциал векторного поля;

Torsion(C, t) — вычисляет торсион в R³;

VectorPotential(v) — вычисляет векторный потенциал в R³;

Довольно громоздкие определения этих функций, основанные на использовании криволинейных и поверхностных интегралов, имеются в учебной литературе. Не приводя их, ограничимся приведенными ниже примерами применение указанных выше функций (файл vecft):

> restart:with(VectorCalculus): SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]);

> F := VectorField( <-y,x,0> );

> Curl(F);

> Del &x F;

> Nabla &x F;

> CrossProduct(Del, F);

> F := VectorField(<���х^2,y^2,z^2>);

> Divergence(F);

> Flux(VectorField(, cartesian[x,y,z]), Sphere(<0,0,0>, r));

> Gradient(х^3/3+у^2, [x,y]);

> Del(х^2+у^2+z^2);

> Nabla(х^2+у^2+z^2);

> Del . %;

> Laplacian(х^2+у^2+z^2, [x,y,z]);

> Laplacian(f(r,theta,z));

> SetCoordinates('cylindrical' [r, theta, z])

> Laplacian(f(r, theta, z));

> SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]);

> v := VectorField();

> ScalarPotential(v);

> v := VectorField(<-y,0,z>);

> ScalarPotential(v); den := х^2 + y^2 + z^2;

> ScalarPotential((x,y,z) -> /den);

> SetCoordinates('spherical'[r,phi,theta]);

> v := VectorField();

> ScalarPotential(v);

> restart:with(VectorCalculus): simplify( Torsion()) assuming t::real;

> Torsion(t -> <2*t,sin(t),cos(t)>);

> SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]); v := VectorField();

> VectorPotential(v);

> SetCoordinates('cylindrical'[r,theta,z]);

> v := VectorField();

> VectorPotential(v);

> simplify(Curl(%));

Обратите внимание на то, что для гарантии правильного выполнения этих команд и отсутствия «зависания» компьютера может потребоваться команда restart и перезагрузка пакета VectorCalculus.

Одним из важнейших приложений пакета VectorCalculus является вычисление длин дуг и площадей сложных поверхностей на основе применения линейных и поверхностных интегралов. Иногда это встречает большие трудности и требует специальных подходов. Примером может служить поверхность, заданная рис. 4.40. Эта поверхность построена с имитацией ее освещения от внешнего источника света.