Евгений Шуремов - Экономический анализ - практические вычисления. Экономические расчеты онлайн

Пусть:

X= {x 1,x 2,…,x n} – вектор базовых (плановых) значений факторов;

Y= {y 1,y 2,…,y n} – вектор текущих (фактических) значений факторов;

Q=F (W) – функциональная зависимость показателя Q от значений факторов;

∆Q=F (Y) -F (X) – общее изменение показателя Q за прошедший период (различие планового и фактического значения показателя).

Тогда для выявления зависимости изменения Q от изменения фактора i вычисляется величина:

∆Q [i] = F (x 1,x 2,…,x i-1,y i, xi+1,…,x n) – F (x 1,x 2,…,x n) i=1,2,…,n

Из приведенной формулы следует, что для вычисления прироста ∆Q [i] вычисляется разность между значением функции при одном измененном значении фактора i и значением функции при базовых значениях факторов.

Очевидно, что в общем случае сумма всех ∆Q [i] не равна ∆Q.

Задача распределения разницы между суммой частных приростов ∆Q [i] и общим отклонением ∆Q, является нетривиальной задачей и должна отдельно решаться в каждом конкретном случае. Равенство суммы частных приростов общему гарантированно достигается только при использовании так называемых аддитивных моделей, в которых результатный показатель равен сумме факторов.

Наиболее общим и широко применяемым методом выявления влияния изменений отдельных факторов на суммарное изменение исследуемого показателя является метод цепных подстановок. При его использовании замена базовых значений факторов на текущие осуществляется последовательными группами. Сначала, вычисляется разность функции с первым измененным фактором с ее значением при базовых значениях, потом разность функции с первыми двумя измененными факторами и значением функции с первым измененным фактором, далее – разность функции с первыми тремя измененными факторами и функции с двумя первыми измененными факторами и т. д. Полученные разности принимаются за величину влияния изменения каждого из факторов на величину результатного показателя.

Пусть, как и ранее:

X= {x 1,x 2,…,x n} – вектор базовых (плановых) значений факторов;

Y= {y 1,y 2,…,y n} – вектор текущих (фактических) значений факторов;

Q=F (W) – функциональная зависимость показателя Q от значений факторов;

∆Q=F (Y) -F (X) – общее изменение показателя Q за прошедший период (различие планового и фактического значения показателя).

Тогда для выявления зависимости изменения Q от изменения фактора i вычисляется величина:

∆Q [i] = F (y 1,y 2,…,y i, xi+1,…,x n) – F (y 1,y 2,…,y i-1,x i,…,x n) i=1,2,…,n

Из приведенной формулы следует, что для вычисления прироста ∆Q [i] вычисляется разность между значением функции при текущих значениях факторов, включая i-ый, и базовых значениях, начиная с фактора i+1 и значением функции при текущих значениях факторов, вплоть до фактора i-1 и базовых значениях, начиная с фактора i.

Легко можно доказать, что в методе цепных подстановок сумма всех ∆Q [i] всегда равна ∆Q.

При использовании метода цепных подстановок результат существенно зависит от порядка замены факторов. Чем значительнее отклонение текущих значений факторов от базовых, тем больше и различий в оценках их влияния, исчисленных при разной последовательности подстановки. Обычно сначала рекомендуется заменять факторы, выраженные в абсолютных величинах, а потом – в относительных. При этом в каждой из указанных групп факторов их рекомендуется размещать в порядке значимости влияния, определяемой методом логического анализа.

Метод цепных подстановок является наиболее общим методом детерминированного факторного анализа, но обладает существенным недостатком, суть которого сводится к возникновению неразложимого остатка, который присоединяется к числовому значению влияния последнего фактора. Этот недостаток может быть преодолен за счет применения интегрального метода.

Использование интегрального метода позволяет получить более точные результаты вычисления влияния факторов по сравнению с методом цепных подстановок. При этом результаты не зависят от местоположения факторов в модели, а дополнительный прирост результативного показателя, возникающий из-за взаимодействия факторов, распределяется между ними поровну. Изменение результативного показателя измеряется на бесконечно малых отрезках времени, т. е. производится суммирование приращения результата, определяемого как частные произведения, умноженные на приращения факторов на бесконечно малых промежутках. В общем случае применение интегрального метода требует довольно сложных математических выкладок и вычислений. Однако для ряда важных частных случаев выведены готовые простые формулы, которые легко применить на практике.