Мартин Гарднер - А ну-ка, догадайся!

Результаты вычислений удивили мисс Лоунлихартс. Шансы встретить интересного собеседника среди усатых мужчин на объединенной встрече оказались ниже, чем среди гладко выбритых!

Мисс Лоунлихартс.Мне пришлось изменить тактику, но зато я была вознаграждена, хотя, признаться, до сих пор не пойму, почему так произошло.

Этот любопытный парадокс можно продемонстрировать на карточной модели. Пусть красные карты соответствуют приятным собеседникам, черные — унылым сухарям, крест, поставленный карандашом на рубашке карты, — усам, а отсутствие креста — гладко выбритому лицу.

Пометим крестами 5 красных и 6 черных карт.

Добавим к ним 3 красные и 4 черные карты без крестов на рубашках. Всего у нас наберется 18 карт.

Это мужчины, собравшиеся в Восточной комнате.

Перетасуйте 18 карт и разложите их на столе вверх рубашкой. Какую карту вам следует выбрать— с крестом или без креста на рубашке, если вы хотите с наибольшей вероятностью вытянуть красную карту? Нетрудно подсчитать, как это сделано на рисунках, что вероятность вытащить красную карту максимальна, если вы выберете карту, помеченную крестом.

Аналогичным образом постройте модель компании, собравшейся в Западной комнате. Пометьте крестами рубашки 6 красных и 3 черных карты. Добавьте к ним 9 красных и 5 черных карт, не помеченных крестом. Всего у вас наберется 23 карты. Перетасуйте их и разложите вверх рубашкой. Нетрудно доказать, что и в этом случае ваши шансы вытянуть красную карту максимальны, если вы выберете карту, помеченную крестом.

Объедините теперь обе группы карт в одну колоду из 41 карты. Перетасуйте ее и разложите карты вверх рубашкой. Трудно поверить, но, проделав все вычисления, вы обнаружите, что наибольший шанс вытащить красную карту будет у вас в том случае, если вы выберете карту, не помеченную крестом.

С подобными парадоксами статистики сталкиваются, например, при анализе действия лекарств. Обратимся снова к той же карточной модели. На этот раз карты будут изображать две группы пациентов, на которых испытывалось действие лекарственного препарата. Карты, помеченные крестом, пусть означают пациентов, получивших лекарство, карты, не помеченные крестом, — пациентов, получивших «плацебо», или «пустышку», — вещество, не оказывающее никакого действия на организм, красные карты — пациентов, состояние которых улучшилось от приема лекарства, черные — пациентов, состояние которых не улучшилось от приема лекарства. При анализе действия лекарства на каждую группу пациентов в отдельности мы пришли бы к заключению, что лекарство более благоприятно сказывается на состоянии пациента, чем «плацебо». При анализе действия того же лекарства на объединенную группу вывод был бы прямо противоположным: прием «плацебо» оказывает более благоприятное действие на состояние пациента, чем лекарство! Этот парадокс показывает, как трудно придумать схему испытаний, которая давала бы надежные статистические результаты.

Примером того же парадокса может служить подлинное происшествие, приключившееся в 1978 г. при анализе статистических данных о результатах приема в Калифорнийский университет в Беркли.

Исследователей интересовало, не отдается ли при вступительных экзаменах предпочтение юношам перед девушками. В тот год в университет было зачислено около 44 % абитуриентов и около 33 % абитуриенток.

Поскольку юноши и девушки были подготовлены примерно одинаково, казалось, что приемная комиссия не отличалась беспристрастием и отдавала явное предпочтение юношам. Но при попытке установить, на каком из факультетов девушки подвергались дискриминации, выяснилось, что на каждом из факультетов университета процент принятых абитуриенток был выше, чем процент принятых абитуриентов! Как это объяснить? Парадокс возник из-за того, что гораздо больший процент абитуриенток подали заявление на более трудные факультеты, где отсев был значительно больше. Если же сравнить абитуриентов и абитуриенток, поступавших на один и тот же факультет, то доля абитуриенток, успешно сдавших вступительные экзамены и зачисленных в университет, оказывалась выше доли абитуриентов. «Дискриминация» юношей превратилась в «дискриминацию» девушек, когда все данные по факультетам свели в единые данные по всему университету. Был ли Калифорнийский университет реабилитирован после того, как парадокс разрешился? По-видимому, был. А что, если какой-то женоненавистник придумал более трудные вопросы и задачи на вступительных экзаменах именно на те факультеты, на которые особенно охотно подавали заявления абитуриентки?