Мартин Гарднер - А ну-ка, догадайся!

Можно ли обобщить принцип Гилбрейта и положить более широкий вариант в основу новых карточных фокусов? Попробуем проделать следующую процедуру. Подготовим колоду так, чтобы карты шли четверками — по одной карте каждой масти, например в последовательности ПЧБТ, ПЧБТ, ПЧБТ и т. д. ( П— пики, Ч— червы, Б— бубны, Т— трефы).

Снимая по одной карте сверху, сдайте примерно половину колоды (точное число сданных карт не имеет значения). При сдаче последовательность мастей автоматически изменяется на обратную. Взяв в правую руку одну часть колоды (например, сданные карты), а в левую — другую часть колоды, сбросьте карты по одной из каждой части на стол так, чтобы они легли внахлест. После этого начните снимать карты с верха перетасованной колоды четверками.

В каждой четверке непременно будет по одной карте каждой масти.

А вот еще один не менее эффективный фокус.

Разложите карты четырьмя сериями по 13 карт в каждой. Карты в серии независимо от масти расположите в следующем порядке: туз, двойка, тройка, четверка, пятерка, шестерка, семерка, восьмерка, девятка, десятка, валет, дама, король. Проделайте с колодой ту же процедуру, что и в предыдущем фокусе. Отсчитайте сверху четыре серии по 13 карт.

В каждой серии непременно будет по одной карте всех значений от туза до короля!

В заключение приведем еще одно обобщение принципа Гилбрейта. Возьмите две колоды и расположите в них карты в одной и той же последовательности. Положите одну колоду на другую и сдайте сверху столько карт, чтобы осталось около 52 листов. Перетасуйте обе части удвоенной колоды внахлест и разделите 104 карты на две строго равные части. Каждая половина окажется полной колодой!

Предположим, что три кандидата— Абель, Берне и Кларк ( А, Ви С) — выставили свои кандидатуры на президентских выборах.

Как показали итоги выборов, 2/3 избирателей отдали предпочтение Абелю перед Бернсом и 2/3 избирателей отдали предпочтение Бернсу перед Кларком. Означает ли это, что большинство избирателей отдало предпочтение Абелю перед Кларком?

Не обязательно. Если голоса избирателей разделились так, как показано на рисунке слева, то возникла парадоксальная ситуация.

Предоставляем объяснить ее самим кандидатам.

М-р Абель.Две трети избирателей предпочли меня Бернсу.

М-р Бернс.Две трети избирателей предпочли меня Кларку.

М-р Кларк.Две трети избирателей предпочли меня Абелю!

Этот парадокс, известный еще в XVIII в., представляет собой пример нетранзитивных отношений, которые могут возникнуть при попарном выборе.

Понятие транзитивности применимо к таким отношениям, как «выше, чем» ( хвыше, чем у), «больше, чем», «меньше, чем», «раньше, чем», «тяжелее, чем».

Вообще, отношение Rназывается транзитивным, если из того, что истинны утверждения xRyи yRzследует, что истинно утверждение xRz.

Парадокс с выбором кажется столь неожиданным потому, что мы ошибочно полагаем, будто отношение «быть предпочтительнее, чем» всегда транзитивно.

Если кто-то отдает предпочтение Аперед В(то есть для него Апредпочтительнее, чем В), а Вперед С, то естественно ожидать, что этот кто-то отдает предпочтение Аперед С. Но как показывает парадокс, это верно далеко не во всех случаях. Большинство избирателей отдало предпочтение кандидату Аперед кандидатом В, большинство избирателей отдало предпочтение кандидату Вперед кандидатом С, и большинство избирателей отдало предпочтение кандидату Сперед кандидатом А. Ситуация заведомо не транзитивная! Этот парадокс иногда называют парадоксом Эрроу в честь лауреата Нобелевской премии экономиста Эрроу, показавшего с помощью такого рода логических парадоксов принципиальную невозможность абсолютно демократической избирательной системы.