W Cat: Система Диофанта

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

2. выбор полученных корней в сумме дающих S

= Все понятно, поехали.

— Для x 2— 7x + 10 = 0 корни будут 2 и 5.

= Да, я вижу, (x 2— [2+5]x + [2 • 5] = 0) проверим:

2 • 2 — 7 • 2 + 10 = 4 — 14 + 10 = 0

5 • 5 — 7 • 5 + 10 = 25 — 35 + 10 = 0

Все сошлось, я тоже хочу попробовать.

— Пробуй: x 2— 16x + 39 = 0

= Корни 3 и 13. Ну, надо же! Я Вижу!!! Еще хочу!

x 2— 3x + 2 = 0

корни 1 и 2.

= Попался! Это все знают! 1 не является простым числом.

— Ну и что, хоть горшком назови, ну пусть 1 будет «сверх простым числом», но корнем этого уравнения оно является.

= Тогда я предлагаю такое уравнение x 2— 4x = 0 и корни будут 0 и 4.

— Согласен. А реши такое x 2+ 18x + 65 = 0

= Решение 5 и 13.

— Неверно.

= Погоди, проверю 13 • 5 = 65; 13 + 5 = 18 ты не прав. Все верно.

— А ты подставь корни в квадратное уравнение.

= Да, не получается, а в чем дело.

— Ты забыл смотреть на знаки. Ответ будет -5 и -13

= Ну, надо же. А я думал, что все проще некуда.

— Давай разберемся со знаками. Вот базовая формула: x 2 —Sx + M= 0. При коэффициенте M плюс будет если оба корня положительныилиоба они отрицательны . Знак при S зависит от суммыположительных или отрицательных корней взятой со знаком минус.

= Чего-то ты перемудрил.

— Ну смотри. Если при M стоит минус. Значит насторожись, одиниз корней отрицателен.

Если +Sx +M, то к гадалке не ходи, оба корня отрицательны. Ну лучше опробуем все это на практике.

x 2— [5+2]x + [5•2] = x 2— 7x + 10 = 0

x 2— [-2+5]x + [-2•5] = x 2— 3x — 10 = 0

x 2— [-5+2]x + [-5•2] = x 2+ 3x — 10 = 0

x 2— [-5 + -2]x + [-5•-2] = x 2+ 7x + 10 = 0

= В общем понятно, - потренироваться надо.

— Приступай.

x 2— 8x + 12 = 0;

x 2— 2x — 3 = 0;

x 2— 5x + 4 = 0;

x 2— 13x + 12 = 0;

x 2— 7x + 12 = 0;

x 2— 15x + 26 = 0;

x 2+ 14x + 45 = 0;

x 2+ 3x - 70 = 0;

x 2— 12x + 35 = 0;

— А дальше тренируйся дома «на кошках». Открой учебник и пиши ответы.

— Давай разберем еще два случая.

x 2— 10x + 100 = 0

= Чего-то не понял.

— Уравнение решения не имеет. 100 = 2•2•5•5 при любой комбинации сомножителей сумма будет больше 10.

= Занятно.

x 2— 6x + 9 = 0

— Уравнение имеет единственное решение 3.

— А если так, x 2— 5x + 9 = 0 то решений нет.

= Ну, надо же. И все исходит из волшебной системы?!!

— Как видишь, большинство «школьных» уравнений, ты решишь одной левой.

Но возможны и сложности, например, такой коварный случай:

x 2+ 4x + 2 = 0

= Как было сказано «два плюса значит — два отрицательных корня», но не соображу, как может сумма быть больше произведения?

— Подумай! Достаточно абсолютному значению хотя бы одного из корней быть меньше единицы, и в данном случае корни:

—2 — √2 ≈ -3.414213562373095

и

—2 + √2 ≈ -0.5857864376269049

= Т.е. просто глянув на формулу можно многое сказать о корнях, да интересно.

= А что ты называешь «школьным» уравнением.

— В свое время, учась в школе, я заметил, что школьная математика дается в «приглаженном» виде, посмотри в геометрических задачах все углы — 30°, 45°, 60°, 90° а алгебре, как правило, в задании и в ответе целые числа. Последние называются Диофантовы уравнения.

//

Диофантово уравнение— это уравнение вида P(x 1, ... , x m) = 0,

где P — целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

//

— Кстати задача, которую мы изначально решали, также приписывается Диофанту.

= Вот приду завтра в школу и умою всех отличников.

— / вот выйду из тюрьмы. Куплю костюм с отливом.../

= Скажу Нельке «открой задачник на любой странице и выбери пример» и с ходу раз — ответ, и пока она пыхтит, проверяет, второй пример, третий.

— / Куплю костюм с отливом. И в Гагры.../

= Слушай. Чё-то мне не верится, что за две с половиной тысячи лет никто не нашел такого способа.

— И мне не верится. Но, мы не специалисты, наверное профессиональный математик скажет «на такой-то странице такой-то работы Гаусса или скажем Эйлера есть упоминание о данной теме, в качестве курьеза [2] См. теорема Виета. ».

— Но мне кажется, что это тайный инструмент составителей задачников для школьников. Согласись, что составить задачу с заданными свойствами ничего не стоит.

= Тогда Нельке я скажу «назови мне два числа, и я тебе напишу квадратное уравнение, где корнями буду эти два числа». Так пожалуй еще круче. .... но придется признаваться как я это делаю.