Feynmann - Feynmann 9

Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой замене обозначений, которая, надеемся, вас не слишком смутит. Форма функции С (х), определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния |y>. Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции С (х) идет речь, поставив снизу индекс, скажем С y( х ) . Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву С и пользуются символом y для опреде­ления функции

Поскольку это обозначение принято во всем мире, неплохо было бы и вам привыкнуть к нему и не пугаться, встретив его где-нибудь. Надо только помнить, что y теперь будет использоваться двояким образом. В (14.14) y обозначает метку, которой мы отметили заданное физическое состояние электрона. А в (14.16) слева символ y применяется для определения математической функции от х, равной амплитуде, связываемой с каждой точкой х прямой. Надеемся, что это не слишком смутит вас, когда вы привыкнете к самой идее. Кстати, функцию y ( х ) обычно именуют «волновой функцией», потому что она очень часто имеет форму комплексной волны своих переменных.

Раз мы определили y ( х ) как амплитуду того, что электрон в состоянии y обнаружится в точке х, то хотелось бы интер­претировать квадрат абсолютной величины y как вероятность обнаружить электрон в точке х. Но, к сожалению, вероятность обнаружить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю. Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке беско­нечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом. Вероятность обнаружить электрон мы можем описать только на языке распределения вероятно­стей , которое дает относительную вероятность обнаружить электрон в различных неточно указанных местах прямой. Пусть Вер. (х, D х ) обозначает вероятность обнаружить электрон в узком интервале D х : возле точки х. Если мы в каждой физичес­кой ситуации будем пользоваться достаточно мелким масшта­бом, то вероятность будет от точки к точке меняться плавно, и вероятность обнаружить электрон в произвольном конечном маленьком отрезке прямой D х ; будет пропорциональна D х. И можно так изменить наши определения, чтобы это было учтено. Можно считать, что амплитуда < x |y> представляет своего рода «плотность амплитуд» для всех базисных состояний | х > 1 в узком интервале х. Поскольку вероятность обнаружить

iэлектрон в узком интервале D х вблизи х должна быть пропор­циональна длине интервала D х , мы выберем такое определение < х |y> , чтобы соблюдалось следующее условие: Вер. (х, D х )=| | 2D х . Амплитуда < x |y> поэтому пропорциональна амплитуде того, что электрон в состоянии y будет обнаружен в базисном состоя­нии х, а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды < x |y> дает плот­ность вероятности обнаружить электрон в любом узком интер­вале. Можно писать и так:

Вер. ( x , D х )=| y ( х )| 2D х . (14.17)

Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии |y>, а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в дру­гом состоянии |y>, которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона. Когда речь шла о конеч­ной системе дискретных состояний, мы пользовались уравне­нием (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать

А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала х будет эквивалентна умножению на D x , а сумма по всем значениям х превратится просто в интеграл. При наших измененных опре­делениях правильная формула будет такой:

Амплитуда < x |y> — это то, что мы теперь называем y ( х ) ; точно так же амплитуду < x |y> мы обозначим j( х ) . Вспоминая, что x > комплексно сопряжена с < x |j>, мы можем (14.18) переписать в виде