Feynmann - Feynmann 9

Правильное квантовомеханическое уравнение движения электрона в пустом пространстве впервые было открыто Шре­дингером. При движении по прямой оно имеет вид (14.12); надо только m эффзаменить на m — массу электрона в пустом про­странстве. При движении по прямой в пустом пространстве уравнение Шредингера имеет вид

Мы не хотим, чтобы вы считали, будто мы сейчас вывели уравнение Шредингера; мы только показываем вам один из способов, каким его можно осмыслить. Когда Шредингер впер­вые написал его, он привел какой-то вывод, опиравшийся на эвристические доводы и блестящие интуитивные догадки. Не­которые из его доводов были даже неверны, но это не имело значения; важно то, что окончательное уравнение дает правиль­ное описание природы. И цель нашего обсуждения состоит просто в том, чтобы показать вам, что правильное фундаментальное квантовомеханическое уравнение (14.13) имеет ту же самую форму, какая получается в предельном случае электрона, дви­жущегося вдоль цепочки атомов. Это значит, что можно считать, что дифференциальное уравнение (14.13) описывает диффузию амплитуды вероятности от точки к точке вдоль прямой. Иначе говоря, если электрон имеет некоторую амплитуду того, что он будет в одной точке, то чуть позже у него появится амплитуда того, что он будет в близлежащих точках. Уравнение дейст­вительно напоминает уравнения диффузии, которыми мы поль­зовались в начале курса. Но есть и одно важное отличие: мни­мый коэффициент перед производной по времени приводит к по­ведению, в корне отличному от обычной диффузии (например, от диффузии газа, распространяющегося по длинной трубе). Обычная диффузия приводит к действительным экспоненциаль­ным решениям, а решения (14.13) суть комплексные волны.

§ 2. Волновая функция

Чтобы получить некоторое представление о том, как теперь все будет выглядеть, вернемся к самому началу и изучим проб­лему описания движения электрона по прямой, не рассматривая состояний, связанных с атомами решетки. Мы хотим возвратить­ся к самому началу и посмотреть, какими представлениями нужно пользоваться, чтобы описать движение свободной части­цы в пространстве. Раз нас интересует поведение частицы вдоль континуума точек, то придется иметь дело с бесконечным мно­жеством возможных состояний и, как вы увидите, идеи, которые были развиты для конечного числа состояний, потребуют неко­торых технических видоизменений.

Начнем с того, что вектором состояния | х > обозначим со­стояние, в котором частица расположена в точности в точке с координатой х. Для каждого значения х вдоль прямой — для 1,73, для 9,67, для 10,00 и т. д.— имеется соответствующее состояние. Выберем эти состояния | х > в качестве базисных. Если это сделать для всех точек х прямой, то получится полная совокупность состояний для движения в одном измерении. Теперь положим, что имеется состояние другого рода, скажем |y>, в котором электрон как-то распределен вдоль прямой. Один из способов описать это состояние — задать все амплиту­ды того, что электрон будет также найден в каждом из базисных состояний | x >. Надо задать бесконечную совокупность ампли­туд, по одной для каждого х. Запишем их в виде < x |y>. Каж­дая из этих амплитуд — комплексное число, и поскольку для каждого значения х существует одно такое число, амплитуда < x |y> является в действительности просто функцией х. Запи­шем ее также в виде С (х):

Мы уже рассматривали такие амплитуды, которые непрерыв­ным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импуль­сом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс р и соответствующую ему определенную энергию Е, то амплитуда того, что она будет обнаружена в любом заданном месте x , такова:

< x |y> = С ( x ) ~e + ipx / h . (14.15)

Это уравнение выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответст­вующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний — со всеми состояниями опреде­ленного импульса. В некоторых задачах состояния определен­ного импульса удобнее, чем состояния с определенным х. И лю­бая другая система базисных состояний также годится для опи­сания квантовомеханической ситуации. К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний | х > .