Feynmann - Feynmann 8a

§ 2. Гамильтониан основного состояния водорода

Через минуту вы это узнаете. Но прежде хочу вам напомнить одну вещь: всякое состояние всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний. Для любого состоя­ния |y|> можно написать

Напомним, что полные скобки — это просто комплексные числа, так что их можно обозначить обычным образом через С i , где i =l, 2, 3 или 4, и записать (10.2) в виде

Задание четверки амплитуд С i полностью описывает спиновое состояние |y>. Если эта четверка меняется во времени (как это и будет на самом деле), то скорость изменения во времени дается оператором Н ^ . Задача в том, чтобы найти этот оператор H^ .

Не существует общего правила, как писать гамильтониан атомной системы, и отыскание правильной формулы требует большего искусства, чем отыскание системы базисных состоя­ний. Мы вам смогли дать общее правило, как записывать систему базисных состояний для любой задачи, в которой есть протон и электрон, но описать общий гамильтониан такой комбинации на этом уровне слишком трудно. Вместо этого мы подведем вас к гамильтониану некоторыми эвристическими рассуждениями, и вам придется признать его .правильным, потому что резуль­таты будут согласовываться с экспериментальными наблюде­ниями.

Вспомните, что в предыдущей главе мы смогли описать га­мильтониан отдельной частицы со спином 1/ 2, применив сигма-матрицы или в точности эквивалентные им сигма-операторы. Свойства операторов сведены в табл. 10.1. Эти операторы, являю­щиеся просто удобным, кратким способом запоминания матрич­ных элементов типа <+|s z|+> были полезны для описания поведения отдельной частицы со спином 1/ 2. Возникает вопрос, можно ли отыскать аналогичное средство для описания системы с двумя спинами. Да, и очень просто. Вот смотрите. Мы изобре­тем вещь, которую назовем «электрон-сигма» и которую будем представлять векторным оператором s eс тремя компонентами s e x, s e yи s e z. Дальше условимся, что когда одна из них действует

Таблица 10.1 ·СВОЙСТВА СИГМА-ОПЕРАТОРОВ

на какое-то из наших четырех базисных состояний атома водо­рода, то она действует на один только спин электрона, причем гак, как если бы электрон был один, сам по себе. Пример: чему равно s y е |-+>? Поскольку s y, действующее на электрон со спином вниз, дает - i , умноженное на состояние с электроном, у которого спин вверх, то

s e y|-+>=- i |++>.

(Когда s y едействует на комбинированное состояние, оно пе­реворачивает электрон, не затрагивая протон, и умножает результат на - i .) Действуя на другие состояния, s е у даст

Напомним еще раз, что оператор s едействует только на первый спиновый символ, т. е. на спин электрона.

Теперь определим соответствующий оператор «протон-сиг­ма» для спина протона. Три его компоненты s p x , s py, s p z, действуют так же, как и s е, но только на протонный спин. Например, если s p x будет действовать на каждое из четырех базисных со­стояний, то получится (опять с помощью табл. 10.1)

Как видите, ничего трудного. В общем случае могут встретиться вещи и посложнее. Например, произведение операторов s e ys p z . Когда имеется такое произведение, то сначала делается то, что хочет правый оператор, а потом — чего требует левый. Например,

Заметьте, что эти операторы с числами ничего не делают; мы использовали это, когда писали s e x(-1)=(-1) s e x. Мы говорим, что операторы «коммутируют» с числами или что числа «можно протащить» через оператор. Попрактикуйтесь и покажите, что произведение s е х s p zдает для четырех состояний следующий результат: