Feynmann - Feynmann 7

D l / l = y / R .

Так что напряжение, т. е. сила, действующая на единичную площадь в некоторой маленькой полоске вблизи у, тоже про­порциональна расстоянию от нейтральной поверхности

Теперь рассмотрим те си­лы, которые привели бы к подобной деформации. Силы, действующие на маленький отрезок, изображенный на фиг. 38.12, показаны на том же рисунке. Если мы возьмем любое поперечное сечение, то действующие на нем силы направлены в одну сторону выше нейтральной поверхно­сти и в другую — ниже ее. Получается пара сил, кото­рая создает «изгибающий мо­мент» , под которым мы понимаем момент силы относительно нейтральной линии. Интегрируя произведение силы на расстояние от нейтральной поверхности, можно вычислить полный момент на одной из граней отрезка фиг. 38.12:

Согласно (38.34), dF = Y ( y / R ) dA , так что

Но интеграл от y 2 dA можно назвать «моментом инерции» гео­метрического поперечного сечения относительно горизонталь­ной оси, проходящей через его «центр масс»; мы будем обоз­начать его через I , т. е.

Уравнение (38.36) дает нам соот­ношение между изгибающим момен­том и кривизной балки 1/R. «Жесткость» балки пропорциональна Y и моменту инерции I . Другими словами, если вы хотите какую-то балку, скажем из алюминия, сделать как можно жестче, то вы должны как можно больше вещества поме­стить как можно дальше от оси, относительно которой берется момент инерции. Но этого нельзя доводить до предела, ибо тогда балка не будет искривляться так, как мы предположили: она согнется или скрутится и снова станет слабее. Вот почему каркасные балки делают в форме буквы I или Н (фиг. 38.13).

Фиг. 38.13. Двутавровая балка.

В качестве примера применения нашего уравнения (38.36) для балки вычислим отклонение консольной балки под дейст­вием сосредоточенной силы W, действующей на ее свободный конец (фиг. 38.14).

Фиг. 38.14. Консольная балка с нагрузкой на конце.

(Консольная балка закреплена одним концом, который вмурован в стенку.) Какая же тогда будет форма балки? Обозначим отклонение на расстоянии х от зак­репленного конца через z; мы хотим найти z ( x ). Будем вычис­лять только малые отклонения. Как вы знаете из курса мате­матики, кривизна 1/R любой кривой z ( x ) задается выражением

Нас интересуют только малые изгибы (обычная вещь в ин­женерных конструкциях), поэтому квадратом производной ( dz / dx ) 2 можно пренебречь по сравнению с единицей и считать

Нам нужно еще знать изгибающий момент . Он является функцией от х, так как в любом поперечном сечении он равен моменту относительно нейтральной оси. Весом самой балки пренебрежем и будем учитывать только силу W , действующую вниз на свободный ее конец. (Если хотите, можете сами учесть ее вес.) При этом изгибающий момент на расстоянии х равен

ибо это и есть момент сил относительно точки х, с которым действует груз W , т. е. груз, который должен поддерживать балку. Получаем