Feynmann - Feynmann 7

§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота

Наш результат для показателя преломления в металлах —формула (32.42) — предсказывает для распространения волн с разными частотами совершенно различные характеристики. Прежде всего давайте посмотрим, что получается при низких частотах. Если величина w достаточно мала, то (32.42) можно приближенно записать в виде

Возведением в квадрат можно проверить, что

таким образом, для низких частот

Вещественная и мнимая части n имеют одну и ту же величину. С такой большой мнимой частью n волны в металлах затухают очень быст­ро. В соответствии с выражением (32.36) амплитуда волны, идущей в направлении оси z, уменьшается как

Запишем это в виде

е - z / d, (32.47)

где d — это то расстояние, на котором амплитуда волны умень­шается в е=2,72 раза, т. е. приблизительно в 3 раза. Ампли­туда такой волны, как функция от z , показана на фиг. 32.3.

Фиг. 32.3. Амплитуда попе­речной электромагнитной вол­ны в металле как функция расстояния.

Поскольку электромагнитные волны проникают в глубь металла только на это расстояние, величина d называется глубиной скин-слоя и определяется выражением

Но что все-таки мы понимаем под «низкими» частотами? Взглянув на уравнение (32.42), мы видим, что его можно приб­лиженно заменить уравнением (32.44), только когда wt много меньше единицы и когда w e 0/s также много меньше единицы, т. е. наше низкочастотное приближение применимо при

w<<1/t

и

w<0. (32.49)

Давайте посмотрим, какие частоты соответствуют этому приближению для такого типичного металла, как медь. Для вычисления t воспользуемся уравнением (32.43), а для вычис­ления s/e 0— известными значениями s и e 0. Справочник дает нам такие данные:

s=5,76·10 7(ом·м) -1,

Атомный вес = 63,5 г,

Плотность = 8,9 г/см 3 ,

Число Авогадро=6,02·10 23.

Если мы предположим, что на каждый атом приходится по од­ному свободному электрону, то число электронов в кубическом метре будет равно

N=8,5·10 28м -3 .

Используя далее

q e=1,6·10 -1 9 кулон,

e 0=8,85·10 -12 ф/м,

m =9,11·10 -31 кг,

получаем

t=2,4·10 -14 сек,

1/t=4,l·10 13сек -1,

s/e 0= 6,5·10 18 сек -1 .

Таким образом, для частот, меньших чем приблизительно 10 12 гц, медь будет иметь описанное нами «низкочастотное» пове­дение. (Это будут волны с длиной, большей 0,3 мм, т. е. очень короткие радиоволны!)

Для таких волн глубина скин-слоя равна

Для микроволн с частотой 10 000 Мгц (3-сантиметровые волны)

s=6,7·10 -4 см,

т. е. волны проникают на очень малое расстояние.

Теперь вы видите, почему при изучении полостей (и волно­водов) нам нужно беспокоиться только о полях внутри полости, а не о волнах в металле или вне полости. Кроме того, мы видим, почему серебрение или золочение полости уменьшает потери в ней. Ведь потери происходят благодаря токам, которые ощу­тимы только в тонком слое, равном глубине скин-слоя.

Рассмотрим теперь показатель преломления в металле типа меди при высоких частотах. Для очень высоких частот сот много больше единицы, и уравнение (32.42) очень хорошо аппрокси­мируется следующим:

Для высокочастотных волн показатель преломления в метал­лах становится чисто вещественным и меньшим единицы! Это следует также из выражения (32.38), если пренебречь диссипативным членом с 7, что может быть сделано при очень боль­ших значениях w. Выражение (32.38) дает при этом