Feynmann - Feynmann 5b

(12.33)

Поскольку поле диполя спадает, как 1/r 3, то на больших рас­стояниях мы как раз имеем поле Е 0 . Наше предположение автоматически удовлетворяет сформулированному выше второму условию (стр. 249). Но что нам взять в качестве силы диполя p? Для ответа мы должны использовать другое условие [урав­нение (12.32)]. Мы должны продифференцировать j по r, но, разумеется, это нужно сделать при постоянном угле q, поэтому удобнее выразить сначала j через r и q, а не через z и r. По­скольку z=rcosq, то

(12.34)

Радиальная составляющая Е есть

(12.35)

Она должна быть равна нулю при r =а для всех q. Это будет выполнено, если

(12.36)

Заметьте хорошенько, что если бы оба члена в уравнении (12.35) зависели бы от q по-разному, то мы не смогли бы вы­брать р так, чтобы (12.35) обращалось в нуль при r =а для всех углов. Тот факт, что это получилось, означает, что мы были мудры, написав уравнение (12.33). Конечно, когда мы догадывались, мы заглядывали вперед; мы знали, что понадо­бится еще один член, который бы, во-первых, удовлетворял С 2j=0 (любое действительное поле удовлетворяет этому), во-вторых, зависел от cosq и, в-третьих, спадал бы к нулю при больших r. Поле диполя — единственное, которое удовлет­воряет всем трем требованиям.

С помощью (12.36) наш потенциал приобретает вид

(12.37)

Решение задачи о течении жидкости может быть записано просто:

(12.38)

Отсюда прямо находится v. Больше мы не будем заниматься этим вопросом.

§ 6. Освещение; равномерное освещение плоскости

В этом параграфе мы обратимся к совсем другой физической проблеме — мы ведь хотим показать большое разнообразие воз­можностей. На этот раз мы проделаем кое-что, что приведет нас к интегралу того же сорта, что мы нашли в электростатике.

Фиг. 12.9. Освещенность I n поверхности равна энергии излучения, падающей в единицу времени на единичную пло­щадку поверхности.

(Если перед нами стоит математическая задача, приводящая к некоторому интегралу, а интеграл этот уже знаком нам по другой задаче, то кое-что о его свойствах нам известно.) Возь­мем пример из техники освещения. Пусть на расстоянии а над плоскостью имеется какой-то источник света. Как будет освещаться поверхность? Чему равна энергия излучения, падающая на единичную площадку поверхности за единицу времени (фиг. 12.9)? Мы предполагаем, что источник сфери­чески-симметричный, так что свет излучается одинаково во всех направлениях. Тогда количество излученной энергии, проходящее через единичную площадку, перпендикулярную потоку света, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Очевидно, что интенсивность света в направлении нормали дается такой же формулой, что и электрическое поле от точечного источника. Если световые лучи падают на поверх­ность под углом 6 к нормали, то /, энергия, падающая на еди­ничную площадку поверхности, уменьшается в cos 9 раз, потому что та же энергия падает на площадь в I/cos 9 раз большую. Если мы назовем силу нашего источника S , тогда I n, освещен­ность поверхности, равна

(12.39)

где e r — единичный вектор в направлении от источника, а n — единичная нормаль к поверхности. Освещенность I nсоот­ветствует нормальной компоненте электрического поля от точечного источника с зарядом 4pe 0S. Учитывая это, мы видим, что для любого распределения источников света можно найти ответ, решая соответствующую задачу электростатики. Мы вы­числяем вертикальную компоненту электрического поля на плоскости от распределения зарядов точно таким же образом, как для источников света.

Рассмотрим такой пример. Нам необходимо для какого-то эксперимента устроить так, чтобы стол освещался равномерно. Мы располагаем длинными трубками флуоресцентных ламп, излучающих равномерно по всей своей длине. Наш стол можно осветить, разместив флуоресцентные трубки правильными ря­дами на потолке, который находится на высоте z над столом. Чему должно быть равно наибольшее расстояние b от трубки до трубки, если мы хотим, чтобы поверхностное освещение было равномерным с точностью до одной тысячной? Ответ: 1) найдите электрическое поле от набора равномерно заряжен­ных проводов с промежутком между ними, равным b ; 2) под­считайте вертикальную компоненту электрического поля; 3) определите, чему должно быть равно b , чтобы волнистость поля была не больше одной тысячной.