Feynmann - Feynmann 5a

Найденное нами решение отвечает также гиперболическому электроду, помещенному около прямого угла, или двум гипер­болам при соответствующих потенциалах. Заметьте, что поле фиг. 7.1 имеет интересное свойство. Составляющая х электри­ческого поля Е дается выражением

т. е. электрическое поле пропорционально расстоянию от оси координат. Этот факт был использован, чтобы создать устрой­ство (называемое квадрупольной линзой), необходимое для фокусирования пучков частиц (см. вып. 6, гл. 29, § 9). Фокуси­рующее поле обычно получают с помощью четырех гипербо­лических электродов, изображенных на фиг. 7.3. Проводя здесь линии электрического поля, мы просто перечертили с фиг. 7.1 семейство штриховых кривых V=const. Эти линии достались нам совершенно бесплатно! Кривые V=const перпендикулярны к кривым U = const, как это следует из уравнений (7.7) и (7.8). Как только мы выбираем функцию F ( з ), то получаем из U и V сразу же эквипотенциальные линии и линии поля. Мы дав­но знаем, что можно решить на выбор любую из двух задач, смотря по тому, какое семейство кривых мы примем за экви­потенциальное.

Другим примером послужит функция

(7.11)

Если мы напишем

где

и

то

откуда следует

Кривые U (х, у) =А и V (х, у) = В, где U и V взяты из уравнения (7.12), проведены на фиг. 7.4. И здесь тоже можно назвать немало случаев, описываемых этими полями. Один из самых интересных — это поле у края тонкой пластинки. Если линия В=0 направо от оси у изображает тонкую заряженную пластину, то линии поля близ нее даются кривыми с различными А.

Фиг. 7.4. Кривые постоянных U ( x , у) и V ( x , у) ив уравнения (7.12).

Фиг. 7.5. Электрическое поле возле края тонкой за­земленной пластины.

Физическая картина показана на фиг. 7.5. Дальнейшие примеры — это функция

(7.13)

дающая нам поле снаружи прямого угла, функция

(7.14)

дающая поле заряженной нити, и функция

(7.15)

изображающая поле двумерного аналога электрического ди­поля, т. е. двух параллельных прямых, заряженных противо­положным знаком и помещенных вплотную друг к другу.

Больше этим вопросом в нашем курсе мы заниматься не бу­дем; мы должны только подчеркнуть, что, хотя техника комп­лексных переменных часто оказывается очень мощной, она ограничена все же только двумерными задачами; к тому же это все-таки косвенный метод.

§ 3. Колебания плазмы

Займемся теперь такими физическими задачами, в которых поле создается не закрепленными зарядами и не зарядами на проводящих поверхностях, а сочетанием обоих факторов. Ины­ми словами, полем управляют одновременно две системы урав­нений: 1) уравнения электростатики, связывающие электриче­ское поле с распределением зарядов; 2) уравнения из другой области физики, определяющие положение или движения за­рядов в поле.

Сперва мы разберем один динамический пример. В нем дви­жение зарядов контролируется законами Ньютона. Простой пример такого положения вещей наблюдается в плазме, в ионизованном газе, состоящем из ионов и свободных электронов распределенных в какой-то области пространства. Ионосфера (верхний слой атмосферы) служит примером такой плазмы. Ультрафиолетовые лучи Солнца отрывают от молекул воздуха электроны и создают свободные электроны и ионы. В плазме положительные ионы намного тяжелее электронов, так что можно пренебречь движением в ней ионов но сравнению с дви­жением электронов.