Feynmann - Feynmann 5a

Если дана некоторая определенная функция F ( з ), то можно подставить з= x + iy ; получится функция от х и у с действи­тельной и мнимой частями. Например,

(7.3)

Любую функцию F (з) можно записать в виде суммы чисто дей­ствительной и чисто мнимой частей, и каждая из частей будет функцией от х и у:

(7.4)

где U ( x , у) и V ( x , у) — действительные функции. Значит, из лю­бой комплексной функции F ( з ) можно произвести две новые функции U (х, у) и V ( x , y ). К примеру, .F(з) = з 2дает две функ­ции:

(7.5)

и

(7.6)

Мы подошли сейчас к удивительной математической теореме, столь прекрасной, что доказательство ее придется отложить до соответствующего математического курса. (Если мы начнем заранее приоткрывать все тайны математики, она покажется вам потом скучной.) Теорема эта состоит вот в чем. Для любой «нормальной» функции (что это такое, математики вам объяснят лучше) функции U и V автоматически удовлетворяют соотно­шениям

(7.7)

и

(7.8)

Отсюда немедленно следует, что каждая из функций U и V удовлетворяет уравнению Лапласа:

(7.9)

(7.10)

Сразу видно, что для функций (7.5) и (7.6) эти уравнения выполняются.

Значит, всегда, отправившись от какой угодно обычной функции, можно прийти к двум функциям U (х, у) и V (х, у), которые обе есть решения двумерного уравнения Лапласа. Каждая функция представляет некоторый электростатический потенциал. Любая выбранная нами функция F(з) обязана снаб­дить нас решением какой-то задачи из электростатики, вернее даже двух задач, потому что решением является как U , так и V . Так можно выписать сколько угодно решений: просто напридумывать множество функций и останется только найти задачи с такими решениями. Такой подход к задачам вполне допустим, хоть он и производится задом наперед.

Для примера посмотрим, к какой физической задаче приве­дет нас функция Р(з)=з 2 . Из нее мы получаем две потенциаль­ные функции (7.5) и (7.6). Чтобы увидеть, какую задачу решает функция U , мы найдем эквипотенциальные поверхности, пола­гая V равным постоянному числу А:

х 2 -у 2 = А.

Это уравнение прямоугольной гиперболы. Перебирая разные значения А, мы получаем семейство гипербол, начерченное на фиг. 7.1. Когда A=0, то гиперболы вырождаются в пару диагоналей, проходящих через начало.

Такое семейство эквипотенциальных поверхностей встре­чается в нескольких физических задачах. В одной из них оно изображает детали структуры поля возле точки между двумя одинаковыми точечными зарядами.

Фиг. 7.1. Два семейства ортогональных кривых, которые могут представлять собой эквипотенциаль­ные линии двумерного электростатического поля.

В другой оно изображает поле внутри прямого угла, образованного двумя проводящими плоскостями. Если есть два электрода, изогнутых так, как по­казано на фиг. 7.2, и имеющих разные потенциалы, то поле внутри угла С будет выглядеть в точности так же, как поле около начала координат на фиг. 7.1.

Фиг. 7.2. Поле возле точки С такое же, как на фиг. 7.1.

Фиг. 7.3. Поле квадрупольной линзы.

Сплошные линии — это эквипотенциальные поверхности, а пересекающие их штрихо­вые — это линии поля Е. Вблизи острия или выступа электри­ческое поле повышается, а возле впадины или отверстия оно слабеет.