Feynmann - Feynmann 5

Обозначим через da площадь элемента поверхности. Этот символ заменяет двумерный дифференциал. Если, например, элемент окажется в плоскости ху, то

da = dxdy .

Позже мы будем иметь дело с интегралами по объему, и тогда будет удобно рассматривать элемент объема в виде малого куби­ка и обозначать его dV , подразумевая, что

dV = dxdydz .

Кое-кто пишет и d 2 a вместо da , чтобы напомнить самому себе, что это выражение второй степени; вместо dV пишут также d 3V. Мы будем пользоваться более простыми обозначениями, а вы уж постарайтесь не забывать, что у площадей бывают два измерения, у объемов — три.

Фиг. 3.3. Замкнутая поверх­ность S , ограничивающая объем V .

Единичный вектор n — внешняя нор­маль к элементу поверхности da , a h — вектор теплового потопа сквозь элемент поверхности.

Поток тепла через элемент поверхности da равен произведе­нию площади на составляющую h, перпендикулярную к da . Мы уже определяли n — единичный вектор, направленный наружу перпендикулярно к поверхности (см. фиг. 3.3). Искомая составляющая h равна

h n=h·n, (3.9)

и тогда поток тепла сквозь da равен

h · nda . (3.10)

А весь поток тепла через произвольную поверхность получается суммированием вкладов от всех элементов поверхности. Иными словами, (3.10) интегрируется по всей поверхности

(3.11)

Этот интеграл мы будем называть «поток hчерез поверх­ность». Мы рассматриваем hкак «плотность потока» тепла, а поверхностный интеграл от h— это общий поток тепла наружу через поверхность, т. е. тепловая энергия за единицу времени (джоули в секунду).

Мы хотим эту идею обобщить на случай, когда вектор не представляет собой потока какой-то величины, а, скажем, является электрическим полем. Конечно, если это будет нужно, то и в этом случае все равно можно проинтегрировать нормаль­ную составляющую электрического поля по площади. Хотя теперь она уже не будет ничьим потоком, мы все еще будем упот­реблять слово

«поток». Мы будем говорить, что

(3.12)

Слову «поток» мы придаем смысл «поверхностного интеграла от нормальной составляющей» некоторого вектора. То же опре­деление будет применяться и тогда, когда поверхность незамк­нута.

А возвращаясь к частному случаю потока тепла, обратим внимание на те случаи, когда количество тепла сохраняется. Представьте себе, к примеру, материал, в котором после перво­начального подогрева не происходит ни дальнейшего подвода, ни поглощения тепла. Тогда, если из какой-то замкнутой по­верхности наружу поступает тепло, содержание тепла во внут­реннем объеме должно падать. Так что в условиях, когда количество тепла сохраняется, мы говорим, что

(3.13)

где Q — запас тепла внутри S . Поток тепла из S наружу равен со знаком минус быстроте изменения со временем общего за­паса тепла Q внутри S . Это толкование возможно оттого, что речь идет о потоке тепла, и оттого, что мы предположили, что количество тепла сохраняется. Конечно, если бы внутри объема создавалось тепло, нельзя было бы говорить о полном запасе тепла в нем.

Укажем теперь на интересное свойство потока любого век­тора. Можете при этом представлять себе вектор потока тепла, но верно это будет и для произвольного векторного поля С. Представьте себе замкнутую поверхность S , окружающую объем V . Разобьем теперь объем на две части каким-то «сече­нием» (фиг. 3.4). Получились два объема и две замкнутые по­верхности. Объем V 1 окружен поверхностью S 1 , составленной частью из прежней поверхности S a и частью из «сечения» S ab . Объем V 2окружен поверхностью S 2, составленной из остатка прежней поверхности ( S b ) и замкнутой сечением S ab . Зададим вопрос: если мы рассчитаем поток через поверхность S l и при­бавим к нему поток сквозь поверхность S 2, будет ли их сумма равна потоку через первоначальную поверхность? Ответ гласит: «Да». Потоки через часть S ab , общую обеим поверхностям S 1 и S 2, в точности сократятся. Для потока вектора С из V 1 можно написать