Feynmann - Feynmann 4a

Вообразите на минуту, что поверхность воды имеет такой вид, как изображено на фиг. 51.5,а, и что на верхнем уровне h 2она движется со скоростью v , а фронт со скоростью u надви­гается на невозмущенную поверхность, высота которой h 1 . Мы хотим определить скорость, с которой движется фронт. За промежуток времени D t вертикальная плоскость, проходив­шая вначале через точку x 1 передвинется на расстояние v D t , т. е. от х 1 до х 2 , а фронт волны пройдет расстояние u D t .

Применим теперь законы сохранения вещества и импульса. Возьмем сначала первый из них: мы видим, что на единицу ши­рины канала количество вещества h 2 v D t , прошедшее мимо точки x 1(область, заштрихованная на фиг. 51.5,6), компенсируется другой заштрихованной областью, представляющей количество вещества (h 2- h 1 ) u D t . Разделив на D t , получим vh 2 = u ( h 2 - h 1 ). Но этого еще недостаточно, так как, хотя нам известны h 1и h 2, мы еще не знаем ни u , ни v , а хотим найти обе величины.

Следующим шагом будет использование закона сохранения импульса. Мы еще не касались вопросов давления в воде и про­чей гидродинамики, но и так ясно, что давление в воде на какой-то глубине должно быть как раз достаточным, чтобы поддержи­вать столбик воды над этой глубиной. Следовательно, давление воды равно произведению плотности r на g и на глубину. Так как давление воды возрастает линейно с глубиной, то среднее давление на плоскость, проходящую, например, через точку х 1 , равно l / 2 r gh 2 , что также представляет среднюю силу на еди­ничную ширину и на единичную длину, толкающую плоскость к точке х 2 . Чтобы получить полную силу, давящую на воду сле­ва, мы должны еще раз умножить на h 2. С другой стороны, дав­ление на рассматриваемую область справа дает противоположно направленную силу, которая по тем же причинам равна l l 2 r gh 2 1 . Теперь мы должны приравнять эти силы к скорости изменения импульса. Таким образом, нам нужно выяснить, насколько в случае, изображенном на фиг. 51.5,6, импульс больше, чем в случае, показанном на фиг. 51.5,а.

Мы видим, что дополнительная масса, которая приобрела скорость v, равна просто rh 2u D t—rh 2v D t (на единицу ширины), а умножение ее на v дает дополнительный импульс, который должен быть приравнен к импульсу силы F D t :

(rh 2u D t-rh 2v D t)v=( 1/ 2r gh 2 2 - 1 / 2 r gh 2 1 } D t.

Исключая из этого уравнения v подстановкой vh 2 = и ( h 2 - h 1 ) и упрощая его, получаем окончательно u 2 = gh 2 ( h 1 + h 2 )/2 h 1 .

Если разность высот очень мала, так что h 1 и h 2 приблизи­тельно одинаковы, то скорость будет равна Ц gh . Как мы увидим позднее, это справедливо только при условии, что длина волны много больше глубины канала.

Аналогичную вещь можно сделать и для ударных волн, только теперь нужно добавить уравнение сохранения внутрен­ней энергии, потому что ударная волна — явление необра­тимое. Действительно, если в задаче о высокой приливной волне проверить закон сохранения энергии, то мы увидим, что он не выполняется. Когда разность высот мала, то энергия почти сохраняется, но как только разность высот становится более заметной, возникают большие потери. Это проявляется в падении воды и водоворотах, показанных на фиг. 51.4.

С точки зрения адиабатического процесса в ударной волне тоже происходит аналогичная потеря энергии. Энергия в зву­ковой волне за ударным фронтом уходит на нагревание газа, что соответствует бурлению воды при высоком приливе. Оказы­вается, что необходимо решить три уравнения, чтобы описать все это для случая звука, причем нужно учесть, что температура за ударной волной и перед ней, как мы видели, не одинакова.

Если мы попытаемся пустить высокий прилив в обратную сторону (h 21), то окажется, что потеря энергии отрицательна.

Но поскольку энергию взять неоткуда, высокий прилив не может поддерживать сам себя — он не стабилен. Если попытаться создать волну такого вида, то дальше она становится все более и более плоской, ведь зависимость скорости от высоты, которая раньше давала резкий фронт, в нашем случае будет работать в обратную сторону.