Feynmann - Feynmann 2a

§ 2. Вынужденные колебания с торможением

§ 3. Электрический резонанс

§ 4. Резонанс в природе

§ 1. Комплексные числа и гармоническое движение

Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об ос­цилляторе, на который действует внешняя си­ла. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая — ординатой. Комплексное число а можно записать в виде a = a r + ia i ; при такой записи индекс r отмечает действительную часть а, а индекс i — мнимую. Взглянув на фиг. 23.1, легко сообразить, что комплексное число a = x + iy можно записать и так: x + iy = rexp ( i q ), где r 2 = x 2 + y 2 =( x + iy ) (x - iy )= aa * (а* — это комплексно сопряженное к а число; оно полу­чается из а изменением знака i ).

Фиг. 23,1. Комплексное число, изображенное точкой на «комплек­сной плоскости».

Итак, комп­лексное число можно представить двумя спо­собами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем r и фазо­вым углом q. Если заданы r и q, то х и у равны rcosq и rsinq, и, наоборот, исходя из числа x + iy , можно найти r = Ц ( x 2 + y 2 ) и угол q; tgq равен у/х (т. е. отношению мнимой и действи­тельной частей).

Чтобы применить комплексные числа к ре­шению физических задач, проделаем такой трюк. Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной coswt. Такую силу F = F 0 cos w t можно рас­сматривать как действительную часть комп­лексного числа F = F 0exp(iwt), потому что exp(iwt)=coswt+isinwt. Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся к осциллятору функции рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функций. Найденное нами ком­плексное число F , разумеется, не настоящая сила, ибо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действитель­ную часть, а мнимой части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» F 0 exp ( i w t ), хотя надо помнить, что речь идет лишь о действительной ее части.

Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусоидальную волну, фаза которой сдвинулась на D? Конечно, как действительную часть F 0 exp [ i (( w t - D 2)]; экспоненту в этом слу­чае можно записать в виде exp[i( w t- D )]=ехр(i w t)exp( -i D ). Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так:

Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комп­лексным числом, т. е.

Однако пора начать решать уравнения, используя комплексные числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные чи­сла в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение

где F — действующая на осциллятор сила, а х — его смещение. Хотя это и абсурдно, предположим, что х и F — комплексные числа. Тогда х состоит из действительной части и умноженной на i мнимой части; то же самое касается и F . Уравнение (23.2) в этом случае означает

или

Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная, часть х удовлет­воряет уравнению, в правой части которого стоит действительная часть силы. Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих х лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравне­ние содержало член l х 2 , то, сделав подстановку x r + ix t , мы полу­чили бы l ( x r + ix i ) 2 , и выделение действительной и мнимой час­тей привело бы нас к l (х 2 r - x 2 i) и 2ilx rx i. Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член -l x 2 i . Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.