Feynmann - Feynmann 1

( ), или С n k (число сочетаний из n по k), где n — полное число

испытаний, а k — число выпадений «орла». Отмечу попутно, что биномиальные коэффициенты можно вычислять по формуле

(6.4)

где символ п! , называемый «n-факториалом», обозначает про­изведение всех целых чисел от 1 до n, т. е. 1 · 2 · 3 . . . (n-1)· п. Теперь уже все готово для того, чтобы с помощью выражения (6.1) подсчитать вероятность Р ( k , n ) выпадения k раз «орла»! в серии из n испытаний. Полное число всех возможностей бу­дет 2" (поскольку в каждом испытании возможны два исхода), а число равновероятных комбинаций, в которых выпадет «орел», будет ( ) , так что

(6.5)

Поскольку Р (k, n) — доля тех серий испытаний, в кото­рых выпадение «орла» ожидается k раз, то из ста серий k вы­падений «орла» ожидается 100 Р ( k , n ) раз. Пунктирная кривая на фиг. 6.2 проведена как раз через точки функции 100 Р ( k , 30). Видите, мы ожидали получить 15 выпадений «орла» в 14 или 15 сериях испытаний, а получили только в 13. Мы ожидали полу­чить 16 выпадений «орла» в 13 или 14 сериях испытаний, а по­лучили в 16. Но такие флуктуации вполне допускаются «пра­вилами игры».

Использованный здесь метод можно применять и в более об­щей ситуации, где в каждом единичном испытании возможны только два исхода, которые давайте обозначим через В (выигрыш) и П (проигрыш). Вообще говоря, вероятности В и П в каждом отдельном испытании могут быть разными. Пусть р, например, будет вероятностью результата В. Тогда q (вероятность резуль­тата П) должна быть равна (1- р). В серии из n испытаний вероятность того, что результат В получится k раз, равна

(6.6)

Эта функция вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятности.

§ 3. Случайные блуждания

Существует еще одна интересная задача, при решении кото­рой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «слу­чайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выгля­дит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х =0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), либо назад (до точки - х), причем ре­шение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе — так называемое броуновское движение — или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбра­сыванием монеты.

Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров слу­чайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением D N за N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании.

Фиг. 6.5. Три примера случайного блуждания.

По горизонтали отложено число шагов N , по вертикали — координата

D ( N ), т. е. чистое расстояние от начальной точки.

(При построении их в качестве случай­ной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, при­веденные на фиг. 6.1.)

Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожи­дать, что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятно­стью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, т. е. каково среднее значение \ D \? Впрочем, удобнее иметь дело не с |D|, а с D 2 ; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блу­жданий.