Feynmann - Feynmann 1

Р (х, Dx)=р(х)Dx;. (6.17)

Функция р(х) называется плотностью вероятности.

Вид кривой р(х) зависит как от числа шагов N , так и от рас­пределения шагов по длинам (т. е. от того, какую долю состав­ляют шаги данной длины). К сожалению, я не могу здесь зани­маться доказательством этого, а только скажу, что при достаточно большом числе шагов N плотность p (х) одинакова для всех разум­ных распределений шагов по длинам и зависит лишь от самого N. На фиг. 6.7 показаны три графика р(х) для различных N.

Фиг. 6.7. Плотность вероятности оказаться при случайном блуждании через N шагов на расстоянии D .

D измеряется в единицах средней квадратичной длины шага.

Заметьте, что «полуширины» этих кривых, как это и должно быть по нашим предыдущим расчетам, приблизительно равны Цn .

Вы, вероятно, заметили также, что величина р(х) вблизи нуля обратно пропорциональна ЦN . Это происходит потому, что все кривые по форме очень похожи, только одни «размазаны» больше, а другие — меньше, и, кроме того, площади, ограни­ченные каждой кривой и осью х, должны быть равны. Действительно, ведь р(х) Dx; это вероятность того, что D находится где-то внутри интервала Dx; (Ax мало). Как определить вероятность того, что D находится где-то между x 1и x 2? Для этого разобьем интервал между х 1 и х 2 на узкие полоски шириной Ax; (фиг. 6.8) и вычислим сумму членов р (х) Dx; для каждой такой полоски.

Фиг. 6.8. Вероятность [заштри­хованная область под кривой р(х)] того, что при случайном блуждании пройденное расстояние D окажется между х 1 и х 2 .

Геометрически эта вероятность [запишем ее в виде Р (x 1< D 2)] равна площади заштрихованной области на фиг. 6.8. При этом чем уже будут наши полоски, тем точнее результат. Поэтому можно записать

Площадь же ограничения всей кривой просто равна вероят­ности того, что D принимает какое-то значение между -Ґ и +Ґ. Ясно, что она должна быть равна единице, т. е.

(6.19)

Ну а поскольку ширина кривых на фиг. 6.7 пропорциональна ЦN, то, чтобы сохранить ту же площадь, их высота должна быть пропорциональна 1/ЦN.

Плотность вероятности, которую мы только что описали, встречается наиболее часто. Она известна также под названием нормальной, или гауссовой, плотности вероятности и записывается в виде

(6.20)

причем величина s называется стандартным отклонением.

В нашем случае s = Ц N или ЦN S c - k , если средняя квадратичная длина шага отлична от единицы.

Мы уже говорили о том, что движения молекул или каких-то других частиц в газе похожи на случайные блуждания. Представьте себе, что мы открыли в комнате пузырек с духами или каким-то другим органическим веществом. Тотчас же молекулы его начнут испаряться в воздух. Если в комнате есть какие-то воздушные течения, скажем циркуляция воздуха, то они будут переносить с собой пары этого вещества. Но даже в совершенно спокойном воздухе молекулы будут распространяться, пока не проникнут во все уголки комнаты. Это можно определить по запаху или цвету. Если нам известен средний размер «шага» и число шагов в секунду, то можно подсчитать вероятность обна­ружения одной или нескольких молекул вещества на некотором расстоянии от пузырька через какой-то промежуток времени. С течением времени число шагов возрастает и газ «расползается» по комнате, подобно нашим кривым на фиг. 6.7. Длина шагов и их частота, как вы узнаете впоследствии, связаны с температурой и давлением воздуха в комнате.

Вы знаете, что давление газа вызывается тем, что молекулы его бомбардируют стенки сосуда. Позднее, когда мы подойдем к количественному описанию этого явления, нам понадобится знать, с какой скоростью движутся молекулы, ударяясь о стен­ку, поскольку сила их ударов зависит от скорости. Однако говорить о какой-то определенной скорости молекул совершенно невозможно. В этом случае необходимо использовать вероятно­стное описание. Молекула может иметь любую скорость, но некоторые скорости предпочтительнее других. Все происходя­щее в газе можно описать, сказав, что вероятность того, что дан­ная молекула движется с какой-то скоростью между v и v+Dv, будет равна p ( v ) D v , где р ( v ) — плотность вероятности, которая зависит от скорости v . Позднее я расскажу, как Максвелл, используя общие понятия и идеи теории вероятности, нашел математическое выражение для функции p(v). Примерный вид функции p ( v ) показан на фиг. 6.9.