Feynmann - Feynmann 1

Перейдем теперь к более общему случаю и рассмотрим, что произойдет, если тел много. Предположим, что имеется несколь­ко тел; пронумеруем их: i = l, 2, 3, ... и пусть все они притяги­вают друг друга. Что тогда произойдет? Можно доказать, что если сложить кинетические энергии всех тел и добавить сюда сумму (по всем парам частиц) их взаимных потенциальных энер­гий тяготения — GMm / r ij , то все вместе даст постоянную:

Как же это доказать? Мы продифференцируем обе стороны по времени и докажем, что получится нуль. При дифференцирова­нии 1/ 2 т i v 2 i мы получим производные скорости — силы [как в (13.5)], а потом эти силы заменим их величиной, известной нам

из закона тяготения, и увидим в конце концов, что останется как раз производная по времени от

Начинаем доказательство. Производная кинетической энергии по времени есть

Производная по времени от потенциальной энергии есть

но

так что

потому что r ij=-r ji, хотя r ij=r } i . Итак,

Теперь внимательно посмотрим, что значит

и означает, что i принимает по порядку

все значения i=1, 2, 3,..., и для каждого i индекс j принимает все значения, кроме i . Если, например, i = 3, то j принимает зна­чения 1, 2, 4, ....

С другой стороны, в (13.16) S означает, что каждая пара i и j встречается лишь однажды. Скажем, частицы 1 и 3 дают только один член в сумме. Чтобы отметить это, можно договориться, что i принимает значения 1, 2, 3, ..., а j для каждого i — только значения, большие чем i Если, скажем, i=3, то j равно 4, 5, 6, .... Но вспомним, что каждая пара i, j дает два слагаемых в сумме, одно с v i, а другое с v j , и что оба эти члена выглядят так же, как член в уравнении (13.14) [но только в последнем в сумму входят все значения i и j (кроме i = j )] . В уравнениях (13.16) и (13.15) член за членом совпадут по величине. Знаки их, однако, будут противоположны, так что производная по времени от суммы потенциальной и кинетической энергий действительно равна нулю. Итак, мы видим, что и в системе многих тел кинети­ческая энергия составляется из суммы энергий отдельных тел и что потенциальная энергия тоже состоит из взаимных потен­циальных энергий пар частиц. Почему она складывается из энер­гий пар? Это можно уяснить себе следующим образом: положим, мы хотим найти всю работу, которую нужно совершить, чтобы развести тела на определенные расстояния друг от друга. Мож­но это сделать не за один раз, а постепенно, доставляя их одно за другим из бесконечности, где на них никакие силы не влияли. Сперва мы приведем тело 1, на что работы не потребуется, потому что, пока нет других тел, силы отсутствуют. Доставка тела 2 потребует работы W 12 =- Gm 1 m 2 / r i 2 . И вот теперь самый суще­ственный момент: мы доставляем тело 3 в точку 3. В любой мо­мент сила, действующая на 3, слагается из двух частей: из си­лы, действующей со стороны 1, и силы со стороны 2. Значит, и вся произведенная работа равна сумме работ каждой из сил, потому что раз F 3разбивается на сумму сил

F 3= F 13+ F 2