Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Аргументация Тегмарка в пользу математической реальности, безусловно, очень интересна, и если бы она оказалась верной, это был бы существенный шаг в сторону ответа на вопрос о «непостижимой эффективности» математики. Во Вселенной, которая тождественна математике, едва ли стоит удивляться, что математика идеально соответствует природе. К сожалению, мне не кажется, что доказательства Тегмарка убедительны. Переход от существования внешней реальности, независимой от человека, к выводу, что, по словам Тегмарка, «нужно поверить в так называемую гипотезу математической Вселенной – в то, что наша физическая реальность представляет собой математическую структуру», требует, как мне представляется, некоторой подтасовки. Когда Тегмарк пытается охарактеризовать математику как таковую, то говорит: «Для современного логика математическая структура в этом и заключается – она представляет собой набор абстрактных сущностей, между которыми есть какие-то отношения». Но ведь этот современный логик – человек! Иначе говоря, Тегмарк на самом деле вовсе не доказывает , что наша математика не изобретена людьми, он это попросту предполагает . Более того, французский нейробиолог Жан-Пьер Шанже в ответ на подобное утверждение указал (Changeux and Connes 1995): «Утверждать, будто математические объекты обладают физической реальностью – на том же уровне, что и природные явления, которые мы изучаем в биологии – приводит, по-моему, к досадной эпистемологической проблеме. Как физическое состояние, имеющее место внутри нашего мозга, может отражать другое физическое состояние, внешнее по отношению к нему?»

Большинство прочих попыток поместить математические объекты непосредственно во внешнюю физическую реальность опираются на эффективность математики в описании природы как на доказательство. Тогда получается, что нет никакого другого объяснения для эффективности математики, а это, как я покажу в дальнейшем, не так.

Если математика обитает не в платоновском мире, лишенном пространства и времени, и не в мире физическом, означает ли это, что математика целиком и полностью изобретена человеком? Совсем нет. Более того, в следующем разделе я покажу, что по большей части математика состоит из открытий, а не из изобретений. Однако, прежде чем двинуться дальше, стоит изучить мнения современных специалистов по психологии познания. Зачем? Очень просто: даже если математику целиком открыли, эти открытия все равно делали люди-математики при помощи своего мозга.

В последние годы психология познания достигла потрясающих успехов, поэтому было бы естественно ожидать, что нейробиологи и психологи обратят внимание на математику, в частности на поиски оснований математики в когнитивных способностях человека. Поверхностный обзор выводов, к которым пришло большинство психологов-когнитивистов, поначалу оставляет впечатление, будто перед тобой воплощение афоризма Марка Твена: «Для человека с молотком все на свете – гвозди». Практически все нейрофизиологи и биологи твердо считают, что математика есть человеческое изобретение – разница лишь в том, на какие аспекты познания они делают упор. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что, хотя интерпретация когнитивных данных далеко не однозначна, нет никаких сомнений, что усилия когнитивистов – это очередной новаторский этап поисков оснований математики. Приведу небольшую, но характерную подборку высказываний психологов-когнитивистов.

Французский нейробиолог Станислас Дехане, который интересуется в основном восприятием чисел и количеств, в своей книге «Чувство числа» (« The Number Sense », Dehaene 1997) пришел к выводу, что «таким образом, числовая интуиция глубоко укоренена в нашем мозге». В сущности, эта позиция близка к позиции интуиционистов, которые хотели свести всю математику к интуитивному пониманию натуральных чисел в чистом виде. Дехане утверждает, что открытия в области психологии арифметики подтверждают, что «число принадлежит к “естественным объектам мысли”, врожденным категориям, согласно которым мы оцениваем мир». По результатам исследования племени мундуруку – изолированного сообщества амазонских аборигенов – Дехане и его коллеги в 2006 году обобщили это утверждение и на геометрию (Dehaene et al. 2006): «Спонтанное понимание геометрических понятий и схем этим изолированным человеческим сообществом – свидетельство того, что основные представления о геометрии, как и базовая арифметика, – это универсальная составляющая человеческого разума». С последними выводами были согласны не все когнитивисты (см., например, Holden 2006). В частности, некоторые ученые указывают на то, что успехи представителей мундуруку, участвовавших в геометрическом исследовании, когда им нужно было найти кривую среди прямых, прямоугольник среди квадратов, эллипс среди кругов и так далее, возможно, объясняются не врожденными знаниями в области геометрии, а лишь способностью зрительно выделять «лишний предмет».